Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема

1. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на [pic 1] заданы независимые случайные величины [pic 2] с числовыми характеристиками

[pic 3]        (10.1.1)

Рассмотрим случайные величины

[pic 4]        (10.1.2)

и установим условия, при которых распределение случайной величины [pic 5] с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е. [pic 6].

Будем говорить, что последовательность случайных величин [pic 7] удовлетворяет центральной предельной теореме, если [pic 8].

Заметим, что [pic 9] означает, что при достаточно большом n распределение Yn становится близким к нормальному [pic 10].

В самом деле, пусть [pic 11].  для  сколь   [pic 12] существует [pic 13], что при [pic 14] 

[pic 15]

Здесь [pic 16] -   [pic 17]: Ф(y) - функция  [pic 18].

 [pic 19]. Тогда для [pic 20]:

[pic 21]        (10.1.3)

[pic 22]

где [pic 23]–  [pic 24], а [pic 25]- распределение [pic 26], то   можно :

[pic 27]

 величину [pic 28], ,  представить в

[pic 29]        

где [pic 30] - независимые   с характеристиками

[pic 31]

 [pic 32] - характеристическая  [pic 33], то  функция [pic 34]   [pic 35] в силу  [pic 36]  вид:

[pic 37](10.1.6)

,  теорему ,  о [pic 38] можно  к  сходимости

[pic 39]

 прием   в доказательстве  , дающей   для [pic 40].

2. Теорема

 [pic 41]- независимые и   случайные  с  характеристиками

[pic 42]

[pic 43](10.2.2)

.  всего , что  [pic 44] вида   с [pic 45]в выражениях   считать   (10.2.1).   должно  к  сходимости