Стационарные первые интегралы дифференциальных систем

1. Понятие первые интегралы.

     Рассмотрим  систему [1, c. 15]

                                    D                                       (1)[pic 1][pic 2]

с непрерывной  в  области  D  функцией  P, Q.

      Дифференцируемая  функция   U(t,x,y),   заданная  в  некоторой   подобласти   G   области   D,    называется   первым   интегралом   системы  (1)   в  области   G, если   для  любого  решения   x(t),  [pic 3]

системы  (1)  график   которого   расположен  в  G,   функция   U(t, x(t), y(t))   , постоянна,   т.е.  U(t, x(t), y(t))   зависит   только   от   выбора   решения   x(t)  и  не зависит  от   t.[pic 4]

     Пусть   V(t, x, y),   V : GR,   есть   некоторая   функция.  Производной   от функции   V   в  силу   системы  (1)  назовем  функцию  V(1)(t, x, y), V(1)  : GR, определяемую   равенством[pic 5][pic 6]

                      [pic 7]

     Следующие   две   леммы   хорошо   известны  [2, с. 70;  3, c. 156],   мы  приведем   их  здесь,   однако,  так  как  они  играют  в  дальнейшем  важную  роль.

     Лемма 1. [1, c 16]. Для  любого  решения  x(t),  t,  системы (1),  график которого  расположен  в  G,  имеет  место  тождество [pic 8]

                      V(1)  ,    t.[pic 9][pic 10]

     Доказательство  следует  из  формулы   для  производной  сложной  функции

[4, c. 50].

     Лемма 2. [1, c.16]. Дифференцируемая  функция     представляет  собой  первый  интеграл  системы  (1)  тогда  и  только  тогда, когда производная  U(1) (t, x, y)  в  силу  системы (1)  тождественно  в  G  обращается  в нуль.[pic 11][pic 12]

     Необходимость. Пусть  U(t,x,y)  есть  первый интеграл  системы (1). Тогда  для любого  решения  x(t)  этой  системы,  применяя  лемму 1,  будем  тождества

                      U(1)[pic 13]

Откуда  при  t=t0   получим  равенство  U(1) (t0, x(t0), y(t0))=0,  справедливое  при  всех значениях  t0 ,  x(t0)  и  y(t0). Необходимость   доказана.

     Достаточность. Пусть  теперь  U(1) (t, x, y)=0   при  всех  (t,x,y). Тогда  для любого  решения  x(t)  системы (1)   на  основании  леммы  1  будем  иметь тождества [pic 14]

                      U (1) (t, x(t), y(t)) ,[pic 15][pic 16]

а  с  ними  и  достаточность.

Пример 1.  Найти  два  независимых  интеграла  системы  [5, c. 257]                          

                                                                                            (2)[pic 17]

     Имеем :       Следовательно, [pic 18]

[pic 19]

Есть  интеграл  системы  (2).

      Заменим  в  равенстве     величины    на  [pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

Интегрируя  это  уравнение,  находим  

                                                           .[pic 24]

Отсюда,  разрешая  относительно    и  заменяя    на  ,  получаем  [pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Следовательно,

[pic 29]

есть  интеграл  системы  (2).

     Интеграл  ,   очевидно,  независимы.[pic 30]

   2. Первые стационарные интегралы.

                                             D                                       (1)[pic 31][pic 32]

              Из  определения  первого  интеграла  следует,  что  постоянная  на  G функция  также  является  первым  интегралом  системы (1).  Первый  интеграл U(t, x, y)  будем  называть  невырожденным  на  G,  если  при  всех  (t, x, y)  выполняется   неравенство [pic 33]

                                   +[pic 34][pic 35]

Функция  U(x)  называется   стационарным  первым  интегралом   системы  (1)     [1, c. 15]  если  она  не  зависит  от  (t)  и является  первым  интегралом  системы  (1).