Свойства степени с рациональным и действительным показателями

Информационный блок для студента

(конспект-лекция)

по учебной дисциплине

ОД.07 МАТЕМАТИКА

Раздел 6: Степени и корни. Степенная, показательная и логарифмическая функция

Тема 6.1: Свойства степени с рациональным и действительным показателями

для  студентов очной формы обучения

Специальности:

ОД.07 Математика

Для 2023-2024 учебный год

                           Специальность 34.02.01. Сестринское дело

   Базовый уровень

    Форма обучения – очная

Ирбит, 2025

Методическая  разработка  урока  по математике

по теме: «Свойства степени с рациональным и действительным показателем».

Степень с рациональным и действительным показателями

Мы уже знакомы со степенями с натуральным показателем. Это числа вида: 23, 62 и т.д. А что такое степени с рациональным и действительным показателем? Что у них общего и в чем их отличие от степеней с натуральным показателем? 

Для начала повторим некоторые свойства степеней с натуральным показателем:

• a0=1          30=0
• a1=а          31=1
• a-n =   3-2  =[pic 2][pic 3]

1. Степень с рациональным показателем.

Вычислить  .[pic 4]

Так как 512 = (53)4, то   =  = = 125[pic 5][pic 6][pic 7]

Таким образом, можно записать   = 125 =  или   = .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Точно также можно записать, что  .[pic 12]

Если n – натуральное число, n 2, m – целое число и частное  является целым числом, то при a0 справедливо равенство[pic 13][pic 14][pic 15]

.                            (1)[pic 16]

• По условию  - целое число, откуда m = nk. [pic 17]

Применяя свойства степени и арифметического корня, получаем

.[pic 18]

Если же частное  не является целым числом, то степень , где a>0, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т.е. и в этом случае считают, что .[pic 19][pic 20][pic 21]

Таким образом, формула (1) справедлива для любого целого числа m и любого натурального числа n≥2 и a>0.

Например:
;[pic 22]

Напомним, что рационально число r – это число вида , где m – целое, n – натуральное число. [pic 23]

Тогда по формуле (1) получаем . [pic 24]

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания a.

Если  то выражение  имеет смысл не только при a>0, но и при а = 0, причём[pic 25][pic 26]

  Поэтому считают, что при r > 0 выполняется равенство            [pic 27][pic 28]

Пользуясь формулой (1), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Так как , где n и k – натуральные числа, m – целое число, то при любом a > 0                                   [pic 29]

                         (2)[pic 30]

Например, .[pic 31]

Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

А именно для любых рациональных чисел p и q и любых a > 0 и b > 0 верны равенства: