Оценка степени точности процесса на основе изучения распределения вероятности показателя качества

Цель работы

Получить практические навыки оценки степени точности процесса на основе изучения распределения вероятности показателя качества.

Для реализации поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Изучение теоретических положений статистического анализа вероятности получения брака и оценки точности процесса.

2. Построение интервального ряда распределения результатов контроля диаметров валов, изготовленном на токарном полуавтомате.

3. Оценка вероятности получения брака по полученному ряду распределения.

Основные теоретические положения

1. Нахождение оценок характеристики положения. Определим среднюю арифметическую для:

[pic 1]

Также рассчитаем медиану по формуле (количество наблюдений четное):

[pic 2]

1. Нахождение оценок характеристик рассеивания. Наиболее эффективной мерой рассеивания является дисперсия:

[pic 3]

Недостатком дисперсии как меры рассеивания является то, что она имеет размерность квадрата размерности результатов наблюдения, поэтому вместо дисперсии S2 часто используют стандартное отклонение(СТО):

[pic 4]

В качестве меры рассеивания при небольшом числе наблюдений также используется выборочный размах R, для нахождения которого результаты наблюдений целесообразно представить в виде ранжированного ряда, тогда

[pic 5]

Далее рассчитаем коэффициент вариации, который показывает относительное колебание отдельных значений около средней арифметической:

[pic 6]

1. Следующим шагом рассчитаем интервальные оценки мер положения и рассеивания.

Определим интервальные оценки для генерального среднего при условии, что генеральная дисперсия неизвестна и p=0,95:

[pic 7]

[pic 8]

Генеральные оценки для генеральной дисперсии найдем по формуле:

[pic 9]

[pic 10]

1. Для изучения распределения результатов контроля качества сначала необходимо произвести группировку чтобы построить интервальный ряд распределения.

4.1. Определяется максимальное (xmax) и минимальное (xmin) значения контролируемого признака и вычисляется размах его вариации:

[pic 11]

4.2. Определяется количество интервалов (k):

- при n ≤ 60:

[pic 12]

- при n > 60:

[pic 13]

4.3. Определяется длина интервала (h):

[pic 14]

4.4. Определяются границы интервалов группировки:

- левая граница (L):

[pic 15]

- правая граница (U):

[pic 16]

4.5. Для каждого интервала находятся центральные значения (середину интервала):

[pic 17]

4.6. Для каждого интервала определяются абсолютные (mi) и относительные (mi/n) частоты (частости) попаданий выборочных значений контролируемой характеристики в интервал.

[pic 18]

Полученный ряд распределения представляется в табличном и графическом виде.

Результаты группировки, как правило, визуализируют в виде столбчатой диаграммы, называемой гистограмма. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру из столбцов с основаниями равными длине интервалов, и высотами равными частотам (частостям) mi (mi/п) для соответствующих интервалов. Если соединить середины верхних оснований столбцов отрезками прямой, то можно получить полигон частот (для тi) или полигон относительных частот (для mi/п).

По результатам группировки также строятся графики эмпирических (выборочных) функций распределения и плотности распределения вероятностей. Эмпирическая функция распределения Fn(х) по сгруппированным данным определяется выражением:

[pic 19]

где Ui - верхняя (правая) граница i-го интервала группировки;

Ni -накопленная частота для i-го интервала группировки.

Для графического представления эмпирической функции распределения строится столбчатая диаграмма, в которой основания столбцов равны ширине интервалов группировки, а высота - относительным накопленным частотам для соответствующего интервала. После этого правые верхние углы столбцов соединяют отрезками прямой линии. Полученная ломаная называется огивой (полигоном накопленных частот) и представляет собой график эмпирической функции распределения для непрерывной случайной величины.