Простейшие конформные отображения канонических областей

Ивановский государственный университет

Факультет математики и компьютерных наук

Кафедра математического анализа и геометрии

Курсовая работа

Простейшие конформные отображения канонических областей

студента 3 курса дневного отделения

Нурбердиевой Чепер

Научный руководитель:

старший преподаватель

   Шмелева А.Ф.

                                                     Иваново 2018

Оглавление

Введение ……………………………………………………………..3

Глава 1.Понятие функции комплексного переменного…………...4

Глава 2.Основные свойства функции………………………………5

                               2.1.Непрерывность функции………..……………………….5

2.2.Дифференцируемость функции…...……………………..6

Глава 3.Элементраные функции и их свойства……………………8

3.1.Степенная функция……………………………………….8

3.2.Показательная функция…………………………………..9

                              3.3.Логарифмическая функция..……………………………10

                         3.4.Тригонометрические функции......……………………...11

3.5.Функция Жуковского……….…………………………...12

Введение

Цель курсовой работы:

1. Изучить элементарные функции
2. Изучить свойства элементарных функции
3. Научиться строить отображения

Задачи курсовой работы:

1. Приобрести навыки работы с комплексными числами и функциями
2. Анализировать функции
3. Построить отображения

Объект исследования курсовой работы : Элементарные функции

Глава1. Понятие функции комплексного переменного

Определение. Говорят, что на множестве точек плоскости задана функция комплексного переменного[pic 1][pic 2]

                                                        ,[pic 3]

если указан закон, по которому каждой точке   ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек плоскости  . В первом случае функция   f называется однозначной, во второммногозначной. Множество  называется областью определения функции f, а совокупность  всех значений , которые f  принимает на ,  множеством ее изменения. В дальнейшем наиболее важную роль будет играть тот случай, когда множество  и  являются областями.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Если положить     и , то задания функции комплексного  , будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных :[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Условимся откладывать значения  на одной комплексной плоскости, а значения  на другой. Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представлять как некоторое отображение множества плоскости  на множество  плоскости . Если функция  однозначна на множестве  и при этом двум различным точкам  всегда соответствуют различные точки , то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Пусть дана функция  осуществляющая отображение множества  на множество . Функция  ставящая в соответствие каждой точке  из  совокупность всех тех точек которые функцией  отображаются в точку  называется функцией, обратной к функции . Ясно, что отображение  будет взаимно однозначным тогда и только тогда, когда обе функции  однозначны.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

Пусть функция  отображает множество  на , а  множество  на . Функция [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]