Производные высших порядков. Правило Лопиталя
Автор: Андрей Иванов • Апрель 8, 2021 • Лекция • 826 Слов (4 Страниц) • 264 Просмотры
Лекция 11. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Исследование функции с помощью производной.
[pic 1]
[pic 2]
Правило Лопиталя
[pic 3]
[pic 4]
При других неопределенностях:
[pic 5]
План исследования функции | |||||
1. | Область | определения D(y | )и | область | допустимых |
значений E(y)функции.
- Четность, нечетность функции.
- Точки пересечения с осями.
- Асимптоты функции.
- Экстремумы и интервалы монотонности.
- Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
- Сводная таблица.
Точки перегиба функции. Алгоритм нахождения точек перегиба.
График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале ( ; ), является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала ( ; ) лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции y=f(x) дифференцируемой на интервале ( ; ), является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала ( ; ) лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
[pic 6]
Теорема Пусть функция y=f(x) определена на интервале ( ; ) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке 0 ∈ ( ; ) вторую производную. Тогда, если f′′(x)>0всюду на интервале ( ; ), то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f′′(x)<0, то функция имеет выпуклость.
Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка ( 1; ( 1)) разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
[pic 7]
Теорема. (О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция y=f(x) имеет перегиб в точке ( 1; ( 1)), то f ( x1 ) 0 или не существует.
Теорема. (О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
- первая производная f ( x ) непрерывна в окрестности точки 1;
- вторая производная f ( x1 ) 0 или не существует в точке 1;;
- f ( x ) при переходе через точку 1 меняет свой знак,
тогда в точке ( 1; ( 1)) функция y=f(x) имеет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
- Найти вторую производную функции.
- Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
- Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
[pic 8]
Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции
...