Неопределенный и определенный интегралы

Контрольная работа 5

Неопределенный и определенный интегралы

З а д а ч а 1. Найти неопределенные интегралы с использованием таблицы интегралов, основных правил интегрирования и правила о линейной замене.

1)                                  [pic 1]

2) [pic 2]

3)                                  [pic 3]

4)  [pic 4]

5)  [pic 5]

Решение:

1) [pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

=[pic 9]

2) ;[pic 10]

3)                                  [pic 11]

4)  ;[pic 12]

5)  .[pic 13]

З а д а ч а 2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной или интегрирования по частям.

1)  [pic 14]

2) [pic 15]

3)[pic 16]

Решение:

1)  [pic 17]

;[pic 18]

2) [pic 19]

3)[pic 20]

[pic 21]

З а д а ч а 3. Найти неопределенный интеграл от рациональной дроби.

[pic 22]

Решение:

В числителе записан многочлен второй степени, а в знаменателе – третьей, значит, дробь правильная.

Решаем уравнение .[pic 23]

Получаем: ;[pic 24]

x1=0; x2=-2; x3=1.

Корни знаменателя простые действительные, следовательно, подынтегральную дробь можно представить в виде:

[pic 25]

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

[pic 26]

Так как равны между собой дроби и их знаменатели, то равны между собой и числители этих дробей:

=[pic 27][pic 28]

[pic 29]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены, получаем систему:

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Далее получаем:

[pic 34]

[pic 35]

З а д а ч а 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

y=3x, y=x2-6x, x ≤1.

Решение:

[pic 36][pic 37]

Выполним чертеж: y=3x, x=1 – прямые линии, y=x2-6x – парабола.

Площадь полученной фигуры вычисляем по формуле:

[pic 38]

 – искомая площадь.[pic 39]

Контрольная работа 6

Дифференциальные уравнения

З а д а ч а 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y’= 2xe2y.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

[pic 40]

[pic 41]

Данное уравнение относится к виду дифференциального уравнения с разделяющими переменными, тогда, интегрируя обе части равенства,  получаем:

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

общее решение[pic 47]

З  а  д  а ч а        2. Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений.

1)y “-2 y’ -15 = 0;

2)y “-18y’+ 81y = 0.

Решение:

1. y “-2 y’ -15 = 0 - дифференциальное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами, составим характеристическое уравнение:

k2-2k-15=0 ⇒ D = 4 - 4⋅(-15)⋅1 =64  ⇒   
, k1=5, k2=-3 –действительные различные корни, тогда общее решение примет вид: у о.о.=С1е5х +С2е-3х, Ci ∈ R.[pic 48]

2) y “-18y’+ 81y = 0 - дифференциальное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами, составим характеристическое уравнение:

k2-18k+81=0 ⇒ (k-9)2=0 ⇒   
 – равные действительные корни, тогда общее решение примет вид: [pic 49]

у о.о.=С1е9х +С2xe9х, Ci ∈ R.

З а д а ч а 3. Решить задачу Коши.

y"-2 y’+ 5y = 0;

y(0) = 1; y’(0) = 3.