Метод Крамера: вывод формул и решение

Оглавление

Введение        2

Наиболее популярные методы решения систем линейных алгебраических уравнений        3

Метод Крамера: вывод формул и решение        4

Нахождение определителей матриц 3х3        7

Вариативность решений        9

Заключение        11

Список использованной литературы:        12

Введение

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Системы уравнений нужны для решения задач оптимизационного характера, к примеру при планировании логистических процессов. Хоть это вещь весьма важная и полезная, мало кто представляет, как решать системы из 3-х и более уравнений, ведь в школе об этом речи не идет.

Именно поэтому я решила рассказать о таком способе решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как метод Крамера.

Объект исследования — решение СЛАУ.

Предмет исследования — метод Крамера.

Моя цель — изучить метод Крамера, научится им пользоваться.

Мои задачи:

- Рассказать одноклассникам о методе Крамера

- Применить его на практике

Наиболее популярные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Чаще всего при решении систем алгебраических уравнений используются методы сложения и подстановки.

При решении систем уравнений методом подстановки мы выражаем y через x (или наоборот) из одного выражения системы и подставляем полученное выражение вместо y(x) в другое уравнение системы. Например:

[pic 1]      5x – 3(10 – 2x) = 14             

    y = 10 – 2x                          5x – 30 – 6x = 14

                                                11x = 44

                                                 x = 4          y = 10 – 8 = 2

При решении систем уравнений методом сложения мы умножаем/делим одно из уравнений системы так, чтобы числа при одной из переменных стали равными, а потом складываем или вычитаем данные уравнения. Например:

[pic 2]     

[pic 3]   

 Для решений систем только из двух уравнений эти методы прекрасно подходят, но что делать, если в системе 3, или того больше уравнений? Вот тут уже нам поможет метод Крамера.

Метод Крамера: вывод формул и решение

Метод Крамера — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных, в котором используются определители матриц.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, где на пересечении строк и столбцов находятся её элементы, а определитель матрицы — это величина, которая вычисляется из элементов любой квадратной матрицы. В нашем случае элементами матрицы являются коэффициенты при переменных и значения уравнений.

Сделаем матрицы для данной системы:

[pic 4]   [pic 5]   [pic 6]   [pic 7]

В матрице Δ в первом столбике записаны коэффициенты при x, во втором — коэффициенты при y.  В матрице Δx в первый столбик записаны свободные члены (значения уравнений), а второй не изменился. В матрице Δy первый столбик такой же, как в матрице Δ, а во второй записаны свободные члены. Если бы система была из трех уравнений, то в четвертой матрице (Δz) свободные члены были бы в третьем столбике, остальные два без изменений, и так далее.

Определитель матрицы 2х2 находится по формуле:

[pic 8]

Говоря проще, нам нужно из красной диагонали вычесть синюю.

Далее по ходу решения нужно воспользоваться формулами Крамера, которые очень просты:

x = Δx/Δ     y = Δy/Δ    z = Δz/Δ

Но откуда мы знаем, что эти формулы правдивы? Предлагаю вывести эти формулы самолично. Мы будем использовать вышеупомянутую систему.

Попробуем определить значения для x и y при помощи метода сложения:

[pic 9]

Теперь проделаем то же самое с x:

[pic 10]

Теперь выразим x и y через формулы Крамера. Для начала найдем определители матриц: