Логари́фм числа

Логари́фм числа {\displaystyle b} b по основанию {\displaystyle a} a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание {\displaystyle a} a, чтобы получить число {\displaystyle b} b. Обозначение: {\displaystyle \log _{a}b} \log _{a}b, произносится: «логарифм {\displaystyle b} b по основанию {\displaystyle a} a».

Из определения следует, что нахождение {\displaystyle x=\log _{a}b} {\displaystyle x=\log _{a}b} равносильно решению уравнения {\displaystyle a^{x}=b} a^{x}=b. Например, {\displaystyle \log _{2}8=3} \log _{2}8=3, потому что {\displaystyle 2^{3}=8} 2^{3}=8.

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа {\displaystyle a,b} a,b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов[⇨].

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция {\displaystyle y=\log _{a}x} y=\log _{a}x незаменима и во многих других областях