Конечные расширения полей

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.АКМУЛЛЫ»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра: математики и статистики

Направление: Прикладные математика и физика

Курс III

КУРСОВАЯ РАБОТА

Гильмияровой Алии Фанисовны

Конечные расширения полей

Научный руководитель:

Д.ф-м.н, профессор

Голубчик И. З..

Уфа 2013

Содержание

Введение        3

Глава 1. Конечные расширения полей        4

1.1. Примитивные элементы и степени расширения        4

1.2. Изоморфизм полей разложения        7

1.3. Конечные поля        9

1.4. Формула обращения Мебиуса и ее применение.        13

Глава 2.  Упражнения        16

Литература        18

Введение

Пусть [pic 1]- непустое множество, на котором заданы 2 операции: сложение и умножение, удовлетворяющим следующим условиям:

1. ([pic 2])-абелева группа;
2. ([pic 3])-полугруппа;
3. Операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами:

[pic 4]     [pic 5]

Тогда ([pic 6])- кольцо.

Структура ([pic 7])- аддитивная группа кольца, а ([pic 8])- мультипликативная подгруппа.

 Поле [pic 9]- это коммутативное кольцо с единицей [pic 10], в котором каждый элемент [pic 11] обратим. Группа [pic 12] называется мультипликативной группой поля.

Подполем [pic 13]поля [pic 14]называется подкольцо в [pic 15], само являющееся полем. В случае [pic 16]говорят также, что поле [pic 17] является расширением своего подполя [pic 18].

Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым.

Поля [pic 19] и [pic 20] называются изоморфными, если они изоморфны как кольца.   Поле  [pic 21] называется изоморфным полю [pic 22], если существует взаимно однозначное отображение  [pic 23]на[pic 24], при котором сумме и произведению любых элементов [pic 25] соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов [pic 26].

Для любого неприводимого многочлена [pic 27]  над полем [pic 28] существует расширение [pic 29], в котором [pic 30] имеет, по крайней мере, один корень. За [pic 31] можно взять поле, изоморфное [pic 32].

Пусть [pic 33]-поле, [pic 34]-унитарный многочлен степени [pic 35] из [pic 36]. Тогда расширение [pic 37] называется полем разложения [pic 38] над [pic 39], если [pic 40] в [pic 41] и [pic 42], т.е. [pic 43] получается из [pic 44] присоединением корней [pic 45] многочлена [pic 46].

Глава 1. Конечные расширения полей

1.1. Примитивные элементы и степени расширения

Если [pic 47]-поле, содержащее подполе [pic 48], то [pic 49] называется также расширением поля [pic 50]. Мы ограничимся вначале простейшим случаем , когда расширение [pic 51] получено из поля [pic 52] присоединением (внутри заданного поля [pic 53]) единственного элемента [pic 54]. Говорят, что [pic 55]-простое расширение поля [pic 56], а [pic 57]-примитивный элемент этого расширения. По своему смыслу [pic 58]-поле отношений целостного кольца [pic 59]. Элемент [pic 60]-трансцендент  над полем [pic 61] тогда и только тогда, когда расширение [pic 62]- изоморфно полю рациональных дробей. Если однако, [pic 63]-алгебраический элемент, то [pic 64]. Здесь [pic 65]-неприводимый многочлен степени, корнем которого является [pic 66]. Обратно, если [pic 67]-неприводимый многочлен, то каноническим образом строится поле [pic 68], в котором [pic 69] обладает хотя бы одним корнем [pic 70]. Из построения видно, что [pic 71] отождествляется множеством элементов вида: