Конечные поля

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ         ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Конечные поля

                                                                 Студента (ки) 2 курса 5 группы

                                                                 физико-математического факультета

                                                                 специальности «Математика»

                                                                 Тулуш Аяна Андреевна ___
                                                                                                      (фамилия, имя, отчество)

                                                                                                     ___________________
                                                                                                     подпись студента

                                           Научный руководитель

                                                         Троякова_Г.А.,к.ф-м.н.,_доцент
                                                         (фамилия, и.о., должность, уч.степень и звание)

                                      __________________
                         (подпись)

Кызыл, 2018

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

I.Конечные поля

        1. Определение конечного поля

2. Количество элементов конечного поля. Аддитивная группа конечного поля

3. Мультипликативная группа конечного поля

4.Построение поля из p n элементов

5.Существование поля из элементов [pic 1]

2. Расширения полей

3. Символическое присоединение

4. Теорема существования

5. Практическая часть

6.Заключение

7.Литература

Введение

Конечные поля стали изучаться в начале XIX в. Этому предшествовали исследования выдающихся математиков  XVII  и XVIII в. Но бесспорные заслуги в формировании этого понятия принадлежат Гауссу и Галуа. Длительное время конечные поля изучались и находили применение только  в алгебре и теории чисел , однако  в последние десятилетия грани соприкосновение теории конечных полей с разными областями математики и ее прикладными разделами существенно расширились. Теория чисел , теория полей , теория групп , алгебраическая геометрия , комбинаторика , теория кодирования – вот далеко не полные перечень разделов математики , с которыми эта теория успешно взаимодействует.

В связи с вышеперечисленным выбранная тема «Конечные поля» является осень актуальной и интересной для курсового исследования.

1.Конечные поля

Определение конечного поля

Конечным полем [pic 2] называется конечное множество элементов, замкнутое по отношению к двум заданным в нем операциям комбинирования элементов. Под замкнутостью понимается тот факт, что результаты операций не выходят за пределы конечного множества введенных элементов. Для конечных полей выполняются следующие аксиомы:

1. GF.1. Из введенных операций над элементами поля одна называется сложением и обозначается как [pic 3], а другая - умножением и обозначается как [pic 4].
2. GF.2. Для любого элемента [pic 5] существует обратный элемент по сложению [pic 6] и обратный элемент по умножению [pic 7] (если [pic 8]) такие, что [pic 9] и [pic 10]. Наличие обратных элементов позволяет наряду с операциями сложения и умножения выполнять также вычитание и деление: [pic 11], [pic 12]. Поэтому иногда просто говорят, что в поле определены все четыре арифметические операции (кроме деления на 0).
3. GF.3. Поле всегда содержит мультипликативную единицу 1 и аддитивную единицу 0, такие что [pic 13], и [pic 14] для любого элемента поля.
4. GF.4. Для введенных операций выполняются обычные правила ассоциативности [pic 15], [pic 16], коммутативности [pic 17], [pic 18] и дистрибутивности [pic 19].
5. GF.5. Результатом сложения или умножения двух элементов поля является третий элемент из того же конечного множества.

Аксиомы GF.1 – GF.5 являются общими для полей как с конечным, так и с бесконечным числом элементов. Специфику же конечного поля определяет аксиома GF.5, где ключевыми являются слова «из того же конечного множества».