Квантовые графы

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ        4

Геометрический граф        4

Дифференциальный оператор на каждом ребре        5

Условия склейки        5

Гильбертово пространство        7

Практическое использование квантовых графов        7

ВЫВОД        9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        10

Введение

Квантовый граф — это геометрический граф (в котором каждому ребру назначена длина) с заданным на нем дифференциальным оператором. Понятие квантового графа включает в себя три составляющих. Геометрический граф, дифференциальный оператор на каждом ребре, условия склейки.

В качестве примера может служить электрическая сеть, состоящая из проводов (рёбер), соединённых в трансформаторных подстанциях (вершинах). Дифференциальные уравнения описывают напряжение на проводах, а граничные условия на вершинах обеспечивают нулевую сумму тока на всех входящих и исходящих ребрах каждой вершины.

Квантовый граф задается на n-мерном Гильбертовом пространстве.

Если в комбинаторном (классическом) графе ребро всегда соединяет пару вершин, то в квантовом графе допускаются полубесконечные ребра (лучи), таким рёбрам ставится в соответствие интервал , где единственная вершина соответствует  . Граф, имеющий хотя бы одно такое ребро, называется открытым.[pic 1][pic 2]

Основная часть

Геометрический граф

Пусть Γ = — геометрический граф с множеством вершин V = {} и множеством ребер E = {}. Каждому ребру можно поставить в соответствие пару вершин, которые оно соединяет: . В этом случае говорят, что ребро  инцидентно вершинам , а эти вершины, в свою очередь, инцидентны ребру  . Количество ребер, инцидентных вершине, называется степенью вершины. Мы в основном рассмотрим графы с конечными множествами вершин и ребер, хотя, вообще говоря, они могут быть бесконечными. В графе могут быть петли (ребра, у которых начало и конец совпадают) и кратные ребра (несколько ребер соединяют одну и ту же пару вершин). Припишем каждому ребру  некоторое положительное число  , называемое длиной ребра. На ребре  введем вещественный параметр  , изменяющийся от 0 до  . Точка   = 0 соответствует одному концу ребра, а   =  — другому концу ребра. Иногда рассматривают графы с бесконечными ребрами   = ∞. В этом случае обычно не считают, что конец   = ∞ соответствует какой-то вершине, а просто ставят в соответствие бесконечному ребру луч [0, ∞). Мы ограничимся изучением компактных графов, у которых длины всех ребер конечны. Ориентация ребер и параметризация для одного и того же графа могут быть выбраны произвольным образом, это вопрос удобства. Отметим также, что граф не обязательно предполагается нарисованным на плоскости и вообще вложенным в какое-либо евклидово пространство. Имея геометрический граф, можно ввести понятие функции на нем. Функция на графе Γ — это вектор-функция , каждая компонента   является функцией параметра   , заданной на отрезке [0,  ], т.е. соответствует ребру . Количество компонент вектор-функции равно количеству ребер в графе (обозначим его m).[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Дифференциальный оператор на каждом ребре

На каждом ребре геометрического графа вводится дифференциальный оператор. Это может быть оператор Лапласа:  или в более общем случае оператор Штурма-Лиувилля (в литературе часто называемый оператором Шрёдингера): Для оператора Штурма-Луивилля нужно задать функцию на графе Γ, обычно называемую (электрическим) потенциалом. Изучаются также операторы высших порядков на графах.[pic 25][pic 26][pic 27]

Условия склейки

Будем считать, что компоненты вектор-функции y связаны между собой условиями склейки. Чаще всего рассматривают стандартные условия склейки, включающие условие непрерывности и условие Кирхгофа. Условие непрерывности состоит в том, что если одна и та же вершина v инцидентна нескольким ребрам, то значения компонент функции y на этих ребрах в концах, соответствующих вершине v, совпадают. Условие Кирхгофа — это равенство нулю суммы нормальных производных компонент функции y в вершине v. Условно его можно записать в виде , где — множество ребер, инцидентных вершине v, (v) — производная от компоненты в точке, соответствующей вершине v (это точка 0 или  ), взятая в направлении «от конца внутрь ребра», т.е. со знаком «+», если v соответствует  = 0, и со знаком «-», если v соответствует  = .[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]