Геометрический метод изображения свойств отображений коммутативными диаграммами

В дискретной математике отображения могут быть представлены геометрически с помощью коммутативных диаграмм. Коммутативная диаграмма - это диаграмма, которая используется для изображения свойств отображений, показывая отношения между доменом, кодоменом и самим отображением.

Для отображения (A, B, f) чаще используется запись  . В отличие от функций, которые всегда можно перемножать, два отображения  и  могут быть перемножены только в том случае, если B = C, и тогда их произведение обозначается через  . [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Пусть заданы отображения ,  и . Если равенство  выполняется, то говорят, что диаграмма отображений[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

Рисунок 1.1 – диаграмма отображений ,  и .[pic 10][pic 11][pic 12]

коммутативна. Вообще под коммутативной диаграммой понимают такую сеть изображающих отображения стрелок между множествами, что любые два пути (идущие в направлении стрелок) из одного множества в другое одно и то же отображение между этими множествами. На практике большинство диаграмм составляется из треугольников, как, например, диаграмма, приведенная выше, или квадратов

[pic 13]

где коммутативность означает, что .[pic 14]

Если задано отображение , то для каждого  однозначно определенный элемент  из B называется образом элемента x при отображении f. Множество  всех образов элементов из A также называется образов множества A; множество  является просто областью значений отображения f, рассматриваемого как функция. Если , т.е. , то отображение f называется сюръективным, или отображение f называется инъективным, или взаимно однозначным, или инъекцией. Отображение, одновременно ялвяющееся отображением на и взаимно однозначным, называется биективным; это просто взаимно однозначное соответствие между двумя данными множествами. Соответствие Ф из A в B будет взаимно однозначным в тои и только том случае, если[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]