Геометрические неравенства. Большая сторона и больший угол в треугольнике

        СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Данная тема объединяет вместе совершенно разные и далекие друг от друга понятия. Действительно, часть учащихся считает, что алгебра и геометрия — совершенно разные науки, и ничего общего между ними нет. Но это, конечно, неверно. Есть много пунктов, в которых алгебра соприкасается с геометрией. Один из них — это геометрические неравенства, т.е. неравенства между числовыми мерами (или измерениями) различных геометрических объектов. Геометрические неравенства –это тема, на изучение которой в программном школьном курсе отводится недостаточное количество времени, поэтому они вызывают трудности у обучающихся.  

Разделение курса математики на модули алгебры и геометрии, зачастую приводит к тому, что навыки, приобретаемые при изучении геометрии, не используются при решении алгебраических задач, а тем более не переносятся на другие предметные области и не применяются в жизни.

В данной работе я постараюсь объединить геометрические и аналитические подходы при изучении некоторых аспектов темы «Неравенства», рассмотрев задачи на геометрические неравенства, поскольку они являются наиболее сложными для понимания обучающимися. Развитие дискретной математики, линейного программирования, динамического планирования и оптимального управления говорит об актуальности геометрических экстремальных задач в окружающей нас действительности, где школьник должен формировать метапредметные компетенции необходимые для жизни.  Геометрические неравенства призваны развивать их. Все это объясняет актуальность рассматриваемой темы, что особенно важно при развитии творческих математических способностей в системе общего и дополнительного образования в условиях реализации ФГОС нового поколения.

1.Понятие геометрических неравенств.

1.1. Исторические сведения о возникновении неравенств.

            Геометрические неравенства довольно специальная тема, количество различных фактов и задач в ней очень велико. Геометрические неравенства имеют широкую область применения как в самой геометрии, так и за ее пределами. Теория функций комплексного переменного, вариационное исчисление в целом, теоремы вложения функциональных пространств, получение априорных оценок решений дифференциальных уравнений дают тому множество примеров. Используемые в разных целях геометрические неравенства применяются в окружении разного технического аппарата, при равных требованиях к исследуемым объектам.

            История развития неравенств и их систем тесно связана с историей развития уравнений и систем уравнений. Знаки неравенств «>», «<» появились впервые лишь в XVII в., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Так, при расширении понятия числа, переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным – мы должны определить отношение «меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. С помощью неравенств задаются основные числовые, формулируются определения предела, монотонной последовательности и функции. На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных. Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (например, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию.  Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: «сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°». Неравенство –это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики –алгебре и теории чисел, геометрии и топологии, теории   вероятностей   и   математической   статистике –получены фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства.