Кері марица. Кері матрицаны элементар түрлендіру арқылы табу

6. Кері марица. Кері матрицаны элементар түрлендіру арқылы табу.

Керi матрица ұғымы квадратты және ерекше емес матрицаға ғана тән ұғым. Егер А квадрат матрицасының [pic 1] болса, онда оған керi матрица А-1 деп, мына шартты АА-1=A-1A=E қанағаттандыратын матрицаны айтады.

[pic 2] берiлсiн. Осы матрицаның элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарынан тұратын матрицаны [pic 3].

Т1. А матрицасының керi матрицасы А-1   бар болуы үшiн, осы А матрицасының ерекше емес болуы қажеттi және жеткiлiктi.

Дәлелдеу.

1. Қажеттiлiк. А-1 бар болсын. Онда АА-1=E – бiрлiк матрицасы. Осыдан [pic 4] немесе [pic 5] болғандықтан, А ерекше емес.

2. Жеткiлiктiлiк.[pic 6] болатынын дәлелдейiк, яғни А-1 болуын көрсетейiк.

[pic 7] табайық.

[pic 8][pic 9]

[pic 10]

Осыдан [pic 11] , яғни .[pic 12]

Сонымен керi матрица А-1 табу үшiн (*) формуласын қолданамыз.

Мысал.

[pic 13] табайық

[pic 14]

Сондықтан [pic 15]. [pic 16] 

Сондықтан [pic 17].

Т2. Матрицаның керi матрицасы жалғыз ғана болады.

Матрицаның элементар түрлендiрулерi деп:

1. Матрицаның кез келген жатық жолын қайсы бiр нөл емес санға көбейтудi;
2. Екi параллель жатық (немесе тiк) жолдардың орындарын ауыстыруды;
3. Матрицаның кез келген жатық немесе тiк жолының элементтерiн нөл емес бiр санға көбейтiп, басқа жатық (немесе тiк) жолдың сәйкес элементтерiне қосуды айтады.

7. Матрицаның жатық немесе тік жолдарының сызықты тәуелділігі.

Анықтама:

Матрицаның жатық жолдары (жолдары) немесе тік жолдары (бағандары) бір-біріне сызықты тәуелді болады, егер олардың кем дегенде біреуі басқаларымен сызықты комбинация түрінде өрнектелсе.

Сызықты комбинация дегеніміз не?

Векторлар жиыны  берілсін. Егер мына түрде жазуға болатын вектор бар болса:[pic 18]

[pic 19]

онда v — осы векторлардың сызықты комбинациясы деп аталады.

Сызықты тәуелділік шарты:

[pic 20]

теңдеуі нөлден өзге коэффициенттер  үшін шешілетін болса, онда векторлар сызықты тәуелді деп аталады.[pic 21]

Ал тек ғана шешім болса, онда векторлар сызықты тәуелсіз деп есептеледі.[pic 22]

Мысал:

[pic 23]

 сызықты тәуелді[pic 24]

8. Матрица рангісі. Матрица рангісін көмкеруші минорлар әдісімен табу.

Берiлген Аmxn матрицасының кез келген к жатық жолын және к тiк жолын бөлiп алайық. Алынған жолдың қилысында жатқан элементтерден к реттi квадрат матрица құрайық. Осы құрылған матрицаның анықтауышын матрицаның к реттi миноры деп атаймыз; [pic 25]

Мысал.

[pic 26], k=2, [pic 27];

екiншi реттi матрицаның анықтауышы: [pic 28]

 Бұл сан А матрицасының екiншi реттi миноры болады. Мөлшерi mxn матрица берiлсе [pic 29] болады да, барлық к реттi минорлар саны [pic 30] санына тең болады. ([pic 31]–m элементтердi k-дан теру). Мысалда [pic 32]. Сондықтан барлық екiншi реттi минорлар саны [pic 33] -ге тең. Үшiншi реттi минорлар

[pic 34]  [pic 35]

Барлық үшiншi реттi минорлар 0-ге тең, ал екiншi реттi минорлардың iшiнде нөл емесi бар. Сондықтан А матрицасының рангi екiге тең дейдi.

Анықтама. Егер матрицаның r реттi минорларының iшiнде нөл емесi болып, ал барлық  ретi r-ден үлкен минорлар 0-ге тең болса, онда r санын матрицаның рангiсi деймiз және оны RA=r деп белгiлеймiз.

Сонымен матрицаның рангi  нөл емес минорлардың ең үлкен рет санына тең болады.

Ерекше емес матрицаның рангiсi оның рет санына тең болады, мөлшерi mxn матрицаның рангiсi m және n сандарының кiшiсiнен үлкен емес, яғни егер [pic 36] болса, онда [pic 37]. Егер А матрицасы трапеция формалы болса, онда оның [pic 38]. Сондықтан оның рангiсi к-ға тең болады.