Напряженное состояние в окрестности точки деформированного тела

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА

Напряженное состояние в точке — это совокупность на- пряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через данную точку. В практике встречают- ся три вида напряженного состояния: линейное, плоское и

объемное.

При расчетах стержней возникают линейные и плоские напряженные состояния. Плоское напряженное состояние показано на рисунке 7.1 — равнодействующие всех на- пряжений лежат в одной плоскости. Рассматривается бес- конечно малый параллелепипед с размерами ребер dx, dy и dz, выделенной в окрестности некоторой точки K, принад- лежащей телу, испытывающему действие внешних сил.

На четырех попарно параллельных площадках парал- лелепипеда действуют нормальные и касательные напря- жения. Индекс нормальных напряжений соответствует названию координатной оси,

параллельно которой они действуют. Касательное на- пряжение имеет два индекса, первый индекс соответствует оси, параллельной нормали к площадке, а второй индекс указывает ось, параллельно которой напряжение дей- ствует.[pic 1]

Принято следующее пра-

вило знаков для напряжений:        Рис. 7.1

нормальные напряжения считаются положительными, если они растягивающие.

Для касательных напряжений существует правило внешней нормали, заключающееся в следующем. Каса- тельное напряжение, действующее по площадке с положи- тельной внешней нормалью, считается положительным, если оно направлено в положительную сторону другой координатной оси, и наоборот: касательное напряжение, действующее по площадке с отрицательной внешней нор- малью, считается положительным, если оно направлено в отрицательную сторону другой координатной оси. Это пра- вило можно иллюстрировать диаграммой:

На рисунке 7.1 показаны положительные напряжения. Касательные напряжения, действующие на двух вза- имно перпендикулярных площадках, всегда равны по ве- личине (τzy = τyz) и направлены либо к ребру, либо от ребра (рис. 7.1). Это положение носит название закона парности

касательных напряжений.

Для выяснения прочности необходим анализ напряжен- ного состояния в любой точке тела, позволяющий опреде- лить величину и направление действия наибольших напря- жений. Это позволит инженеру определить в любом месте детали направление ее возможного разрушения.

Следовательно, перед инженером встает задача опреде- ления экстремальных напряжений (σmax и σmin) и положе- ние площадок, на которых эти напряжения действуют. Площадки, на которых действуют экстремальные напря- жения, называют главными площадками. Напряжения, действующие на главных площадках, называются главны- ми напряжениями. Для решения поставленной задачи по- лучим аналитические выражения для нормальных и каса- тельных напряжений (σα, τα), действующих на наклонных площадках.

ГЛАВА 7. СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА

133

Рассмотрим равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 7.2), получен- ной из рассматриваемого на рисунке 7.1 параллелепи- педа. Составим уравнения равновесия рассматриваемой призмы — суммы проекций всех сил на оси v и u (∑u = 0,

∑v = 0). Решение этих урав-

нений дает нам следующие выражения:

[pic 2]

Рис. 7.2

σα = σy sin2 α + σz cos2 α + τzy sin2α;

τ = σу − σz sin2α + τ[pic 3][pic 4]

2

cos2α.

Полученные выражения для нормальных и касатель- ных напряжений позволяют получить величины этих на- пряжений на любой площадке, положение которой будет установлено по внешней нормали, направленной под углом