Контрольная работа по "Экономике"

5 вариант

№1. а) Вероятность того, что все три набора являются бракованными, равна числу благоприятных исходов делённое на общее число возможных исходов.

Число способов выбрать 3 набора из 5 бракованных наборов можно рассчитать по формуле:

[pic 1]

Число способов выбрать 3 набора из 15 возможных наборов можно рассчитать по формуле:

[pic 2]

Итак, вероятность того, что покупателю достались все бракованные наборы, равна:

[pic 3]

б) Всего возможных вариантов выбрать 3 набора из 15 равно:

[pic 4]

Для случая "только один бракованный набор" есть несколько вариантов:

1) Выбрать 1 бракованный набор и 2 нормальных набора. Возможных вариантов это сочетание из 5 по 1 умноженное на сочетание из 10 по 2:

[pic 5]

2) Выбрать 2 бракованных набора и 1 нормальный набор. Возможных вариантов это сочетание из 5 по 2 умноженное на сочетание из 10 по 1:

[pic 6]

Итоговая вероятность будет равна сумме этих двух вариантов, поделенной на общее количество возможных вариантов:

[pic 7]

в) Изначально имеется 15 наборов батареек, и из них 5 бракованных.  Покупатель берет 3 набора, и нужно найти вероятность того, что все 3 набора будут хорошими.

Вероятность того, что первый набор будет хорошим, равна 10/15, так как изначально имелось 15 наборов, и 5 из них были бракованными.

После того, как первый набор был выбран, остается 14 наборов, из которых 9 хороших и 5 бракованных.

Таким образом, вероятность выбрать второй хороший набор равна 9/14.

Аналогично, после того, как первые два набора были выбраны, остается 13 наборов, из которых 8 хороших и 5 бракованных. Таким образом, вероятность выбрать третий хороший набор равна 8/13.

Чтобы найти вероятность того, что покупателю достались все хорошие наборы, необходимо умножить вероятности всех трех событий:

[pic 8]

Таким образом, вероятность того, что покупателю достались все хорошие наборы, равна приблизительно 0,266.

№2. Для решения этой задачи, нужно учитывать вероятности рвения ремней от каждой фирмы и их доли поступления в магазин. По условию, ремни поступают в отношении 2:3, то есть на каждые 2 ремня от первой фирмы приходится 3 ремня от второй.

Пусть A – событие, что ремень не порвется на первой тысяче километров пробега.

Тогда вероятность рвения ремня от первой фирмы P = 1/10.

А вероятность рвения ремня от второй фирмы P = 1/20.

Так как ремни поступают в отношении 2:3, то вероятность выбрать ремень от первой фирмы [pic 9]

А вероятность выбрать ремень от второй фирмы [pic 10]

Теперь можно применить формулу полной вероятности:

[pic 11]

Значит, вероятность того, что купленный в магазине ремень не порвется на первой тысяче километров пробега, равна 0,07.

№3. Если у пользователя есть 5 различных паролей, то вероятность угадать правильный пароль равна 1/5 = 0,2.

Закон распределения случайной величины, представляющей число попыток до угадывания правильного пароля, можно представить в виде биномиального распределения B (n, p), где n – число попыток и p – вероятность угадать правильный пароль.

Математическое ожидание для биномиального распределения вычисляется по формуле M (X) = n*p.

В данном случае, n = 1 / 0,2 = 5, поэтому

[pic 12]

Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:

[pic 13]

В данном случае,

[pic 14]

Среднее квадратическое отклонение для биномиального распределения вычисляется как квадратный корень из дисперсии, т.е.:

[pic 15]

Функция распределения: к сожалению, не знаю, как это делать

№4. а) Для нахождения математического ожидания E (4 - 3X) необходимо воспользоваться свойствами линейности математического ожидания.

Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона с параметром λ = 2, математическое ожидание равно λ, то есть

[pic 16]

Теперь нужно воспользоваться свойством линейности математического ожидания, которое гласит, что E (aX + bY) = aE(X) + bE(Y), где a и b - константы.

В данном случае, a = -3, b = 4 и Y = X, поэтому

[pic 17]

б) Для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны параметру 𝜆.

[pic 18]

Для случайной величины 𝑌 = 4 − 3𝑋:

[pic 19]

Для расчёта дисперсии необходимо использовать следующую формулу: