Индивидуальное задание по "Колебания и волны"

Индивидуальное задание к курсу

«КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ»

Задача №1. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикреплен грузик массой m. Определить частоту колебаний, если его масса М равномерно распределена по ободу.

[pic 1]

Решение

При отклонении на малый угол [pic 2] появляется возвращающий момент сил

[pic 3].

Момент инерции данной системы: [pic 4].

Уравнение движений выглядит так:

[pic 5].

Тогда

[pic 6]

– это уравнение колебаний с частотой [pic 7].

[pic 8].

Откуда

[pic 9].

Задача №2. Определить частоту собственных колебаний груза массой m на легком стержне, середина которого прикреплена с помощью пружины жесткости k к неподвижной стенке. В положении равновесия пружина недеформирована. Длина стержня L.

[pic 10]

Решение

Данная система состоит из двух подсистем. Зачит ищем сумму частот.

Определим ω пружинного маятника.

В пружинном маятнике при смещении груза пружина деформирована на промежутке х.

[pic 11]

Запишем уравнение с одной степенью свободы

[pic 12].

Решением данного ДУ является функция:

[pic 13].

Выразим k через ω и х.

[pic 14]

где [pic 15]

[pic 16].

Теперь найдем частоту собственных колебаний.

[pic 17]

Таким образом,

[pic 18].

Задача №3. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого с массой М в ней может поступательно перемещаться без трения в горизонтальном направлении. Длина маятника L, масса m.

[pic 19]

Решение

Рассмотрим систему шариков m и M, соединенных нитью длины L. Шары в любой момент времени движутся в одном направлениях, а отношение их ускорений прямо пропорционально отношению масс:

[pic 20]                                                 (3.1)

С другой стороны, непосредственно из рисунка видно, что

[pic 21]                                                (3.2)

(в нашем случае [pic 22]). Тогда, сравнивая (3.1) и (3.2), находим

[pic 23].

Период колебаний математического маятника длиной S равен

[pic 24].

Тогда, в нашем случае

[pic 25].

Таким образом

[pic 26].

Задача №4. По горизонтальной плоскости со скоростью v скользят два шарика массами m каждый, соединенные недеформированной пружинно жесткости k. Шарики налетают на вертикальную стенку. Считая удар абсолютно упругим, описать последующее движение шариков. Произойдет ли повторный удар о стенку?

[pic 27]

Решение

Для заданной системы найдем максимальное и минимальное расстояния между шариками при дальнейшем движении системы.

Рассмотрим оба шарика и пружину как физическую систему. Центр масс системы движется с ускорением [pic 28] вправо.

Давайте рассмотрим работу в системе центра масс. Поскольку эта система является неинерциальной (ускоренной относительно земли), мы должны применить псевдосилу [pic 29] влево на обоих шариках.

Когда центр масс покоится в этой системе отсчета, шарики движутся в противоположных направлениях и мгновенно останавливаются в какой-то момент. Удлинение пружины в этот момент будет максимальным или минимальным. Предположим, что шарик 1 смещается на расстояние x1 и шарик 2 на расстояние x2 от начальных положений.

Из уравнения энергии в рамках центра масс.

[pic 30],

(где [pic 31] также включает работу псевдосил). Итак,

[pic 32], [pic 33]

и

[pic 34],

или

[pic 35].

Итак, [pic 36] или, [pic 37].

Следовательно, максимальное расстояние меду шарами равно [pic 38].

Очевидно, что минимальное расстояние соответствует нулевому удлинению и равно [pic 39].

Таким образом, повторный удар о стенку должен произойти.

Задача №5. Начальное напряжение на конденсаторе емкостью С0 равно U0, а конденсатор С не заряжен. Через какое время после замыкания ключа К пробьется конденсатор емкостью С, если пробой наступает при напряжении U1?