Изучение затухающих электромагнитных колебаний

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Изучение затухающих электромагнитных колебаний RCL – осциллятора (колебательный контур), нахождение параметров осциллятора, используя нелинейные методы вычислений.  

Теория

В классическом варианте принципиальная схема лабораторной работы приведена на рисунке 1.

Составляющие компоненты:

• омическое сопротивление;
• конденсатор, емкостью C;
• ключ;
• источник питания;
• катушка индуктивности L.

[pic 1]

Рис. 1. Схема RCL – контура  

Теория затухающих электромагнитных колебаний

Колебательный контур, представляет собой замкнутую цепь, которая состоит из конденсатора, емкостью C, катушки индуктивности L и омического (активного) сопротивления R, соединенных последовательно. Омическое сопротивление является суммой сопротивлений соединительных проводов, провода катушки индуктивности и включенного в контур резистора. Принципиальная схема колебательного контура приведена на рисунке 1.

Электрический контур можно считать линейной системой, если его сопротивление R, электроемкость C и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания линейной системы – электрического колебательного контура. Согласно второму правилу Кирхгофа для RLC – контура, в котором протекают квазистационарные токи (это такой ток, мгновенное значение которого одинаковы в каждой точке неразветвленных участков цепи), можно записать:

                  U U UL  R  C  0                           (1) где UL – падение напряжения на индуктивности, UC – падение напряжения на емкости, UR – падение напряжения на резисторе, или:

        dI        q

  L  R L  [pic 2]  0   (2) dt        C[pic 3]

Учитывая, что I  dq dt и разделив (2.2) на L, получим следующее уравнение:

        d q2        R dq        q

                                             2                  0                          (3) [pic 4]

        dt        L dt        LC

Так как величина заряда на обкладках конденсатора пропорциональна разности потенциалов на них, то уравнение, описывающие изменения напряжения на конденсаторе, будет аналогично предыдущему уравнению:

        d U2        R dU        U

                                                  2                  0                          (4)

        dt        L        dt        LC

Введя обозначение   R L2 получим:

        d U2        dU        2[pic 5]

                                               2  2 0U  0                         (5) 

        dt        dt

где β - коэффициент затухания, U - напряжение на обкладках конденсатора, 02 - частота собственных незатухающих колебаний контура.

Уравнение (5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает свободные затухающие колебания.

При условии β< ω0 решение уравнения (5) имеет вид:

                 U t( )  U m ( )t cos( t  )  U 0 exp t cos( t  ) (6)

где α – начальная фаза, ω – частота затухающих колебаний, Um(t) – амплитуда затухающих колебаний: