Расчет потоков

Задача 1.  Простейшие СМО

1. Спроектировать АТС (определить требуемое число n линий связи) так, чтобы она обладала пропускной способностью, при которой вероятность получения абонентом отказа в обслуживании не превышает заданной величины р=0,02. Поток вызовов характеризуется плотностью          λ=0,5 выз/мин, средняя продолжительность разговора [pic 1]=4 мин.

Для спроектированной системы определить следующие показатели эффективности:

• абсолютную и относительную пропускную способность системы;
• коэффициенты загрузки и простоя;
• среднее время полной загрузки системы;
• среднее время пребывания заявки в системе.

1. Сравнить показатели эффективности спроектированной системы с показателями смешанной системы, имеющие ограничения на длину очереди величиной m=2 и теми же параметрами α и n.

Для последней системы, кроме перечисленных выше показателей, определить еще и среднее число заявок в очереди.

Полученные результаты оформить в виде таблицы и охарактеризовать рассматриваемые системы, как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения эксплуатации системы.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения потребителей:

• Робс – вероятность обслуживания заявки,
• [pic 2] – время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения ее эксплуатационных свойств:

• λb – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
• Робс – относительная пропускная способность системы,
• kз – коэффициент загрузки системы.

Решение

1) Вероятность отказа (доля заявок, получивших отказ) для СМО с отказами определяется по формуле:

[pic 3],

где [pic 4] – интенсивность нагрузки, n – число каналов обслуживания, [pic 5] – вероятность того, что все каналы свободны.

        Таким образом,

[pic 6]

        Определим требуемое число n линий связи так, чтобы АТС обладала пропускной способностью, при которой вероятность получения абонентом отказа в обслуживании не превышает заданной величины р=0,02, т.е.

[pic 7]

        Для наших данных:

[pic 8],

тогда требуемое неравенство запишется в виде:

[pic 9]

        Решим его методом последовательного перебора.

        Пусть n=1, тогда

[pic 10]

        Пусть n=2, тогда

[pic 11]

Пусть n=3, тогда

[pic 12]

Пусть n=4, тогда

[pic 13]

Пусть n=5, тогда

[pic 14]

Пусть n=6, тогда

[pic 15]

        Значит, требуемое число линий связи равно 6.

Определяем характеристики СМО.

        Интенсивность потока обслуживаний:

[pic 16] выз/мин.

Вероятность того, что все каналы свободны:

[pic 17]

т.е. 13,6% времени каналы будут свободными.

        Вероятность отказа:

[pic 18]

значит 1,21% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

        Относительная пропускная способность:

[pic 19]

значит, 98,79% из поступивших заявок будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность:

[pic 20] выз/мин.

        Среднее число каналов, занятых обслуживанием:

[pic 21]

т.е. в среднем 2 канала заняты обслуживанием.

        Коэффициент загрузки системы (вероятность занятости канала):

[pic 22]

т.е. система на 32,93% занята обслуживанием.

        Вероятности того, что заняты k каналов (0≤k≤n):