Разработка регрессионной модели объекта

Лабораторная работа № 1  

Разработка регрессионной модели  объекта

 Цель работы. Построение регрессионной модели  объекта и оценка ее адекватности.

1.  Краткие теоретические сведения        

        Динамический объект управления (ОУ) может функционировать в двух режимах: переходном и установившемся (стационарном). В последнем случае ОУ можно рассматривать как статическую, функционирование которой  описывают алгебраическими уравнениями.

        Рассмотрим  статический ОУ с [pic 1] наблюдаемыми входами [pic 2] и одним выходом [pic 3]. Неучтенные (ненаблюдаемые) входы, называемые возмущениями, порождают ошибки измерения выхода [pic 4]. Будем считать ошибки [pic 5] нормально распределенными с нулевым средним [pic 6]и дисперсией [pic 7]. Наличие ошибок измерения позволяет установить однозначное соответствие только между средним значением  выхода ОУ  и входами [pic 8] и [pic 9], где [pic 10], [pic 11]- условное математическое ожидание выхода при заданном [pic 12].

        Зависимость [pic 13]представляет собой  множественную регрессию. Величина [pic 14] называется оценкой выхода объекта или выходом модели.

        В настоящей работе для описания статического ОУ используется линейная регрессионная модель с неизвестными коэффициентами [pic 15]

                 [pic 16].                                            (1)

Для определения неизвестных коэффициентов [pic 17] регрессии необходимо располагать массивом наблюдений, который формируется в результате проведения пассивного эксперимента (N опытов) путем измерения    входов [pic 18] и выхода [pic 19] объекта в каждом опыте

[pic 20] .                                                   (2)

При наличии ошибок измерения выхода [pic 21] коэффициенты регрессии определяются приближенно в виде оценок [pic 22]. В этом случае выход модели запишется в форме     [pic 23]            или         [pic 24],

где  [pic 25],  [pic 26],  [pic 27].

Модель в общем случае является лишь копией ОУ, кроме того, она подвержена воздействию только наблюдаемых входов, поэтому выход ОУ [pic 28]отличается от его оценки[pic 29]на величину [pic 30], называемую ошибкой идентификации. Отсюда следует

 [pic 31].                                                             (3)

Вектор оценок коэффициентов регрессии [pic 32] находится из уравнения (3) по методу наименьших квадратов [1].  При этом предполагается, что ошибки идентификации «похожи» на ошибки измерения выхода, т.е. являются центрированными и некоррелированными величинами

[pic 33], где E – единичная матрица.

Тогда МНК – оценка вектора коэффициентов регрессии находится по формуле

[pic 34]                                                                (4)

О точности вычисления коэффициентов регрессии  [pic 35] можно судить по ковариационной матрице ошибок

        [pic 36] ,                                                                (5)

где [pic 37] - дисперсия ошибок измерения выхода.

2. Исходные данные: массивы измерений входов [pic 38] и выхода [pic 39] статического ОУ, приведенные в таблице вариантов.

  Таблица