Контрольная работа по «Компьютерному практикуму»
Автор: loragirl • Март 2, 2021 • Контрольная работа • 865 Слов (4 Страниц) • 279 Просмотры
Контрольная работа
по дисциплине «Компьютерный практикум»
Задание 1. Провести полное исследование и построить график функции
[pic 1]
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .[pic 2]
Решение:
- Область определения функции: все действительные числа, кроме –1, т.к при знаменатель дроби обращается в 0, .[pic 3][pic 4]
- Точки пересечения графика функции с осями координат
С осью OY, т.е. абсцисса точки равна 0: .[pic 5]
[pic 6]
Таким образом, – точка пересечения графика функции с осью OY.[pic 7]
С осью OX, т.е. ординаты точек равны 0.
[pic 8]
Таким образом, – точка пересечения графика функции с осью OX.[pic 9]
- Асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Найдем односторонние пределы в точке разрыва:
[pic 10]
[pic 11]
Т. к. односторонние пределы в точке разрыва бесконечные, то – вертикальная асимптота.[pic 12]
Наклонные асимптоты [pic 13]
Для поиска наклонных асимптот найдем предел:
[pic 14]
[pic 15]
Значит, график функции имеет наклонную асимптоту при , угловой коэффициент которой равен .[pic 16][pic 17]
Для определения параметра уравнения асимптоты найдем предел:[pic 18]
[pic 19]
Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика функции при .[pic 20][pic 21]
Горизонтальные асимптоты
Найдем пределы:
[pic 22]
[pic 23]
Поскольку пределы бесконечные, то горизонтальных асимптот у графика функции нет.
- Четность/нечетность
Найдем и .[pic 24][pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
и , значит, функция не является ни четной, ни нечетной.[pic 28][pic 29]
- Промежутки возрастания/убывания, экстремумы
Найдем производную функции:
[pic 30]
[pic 31]
Найдем критические точки: точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная не существует в точке , но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не может быть точкой экстремума.[pic 32]
Для определения точек, в которых производная равна 0, составим и решим уравнение:
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Определим знак производной на интервалах, на которые числовую ось разбивают критические точки. Для этого построим график производной:
[pic 36]
При переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «-», значит – точка максимума, .[pic 37][pic 38][pic 39]
При переходе через точку первая производная меняет знак с «–» на «+», значит – точка минимума, .[pic 40][pic 41][pic 42]
Производная положительна на интервале , значит, на этом интервале функция возрастает.[pic 43]
Производная отрицательна на интервале , значит, на этом интервале функция убывает.[pic 44]
- Выпуклость/вогнутость, точки перегиба
Найдем вторую производную функции:
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Найдем критические точки второго рода: точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Вторая производная не существует в точке , но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не может быть точкой перегиба.[pic 48]
В ноль вторая производная не обращается.
Найдем знак второй производной на интервалах . Для этого построим график второй производной.[pic 49]
[pic 50]
Вторая производная положительна на , значит функция вогнута на этом интервале.[pic 51]
Вторая производная отрицательна на , значит функция выпукла на этом интервале.[pic 52]
- График функции
[pic 53]
- Наибольшее и наименьшее значение на интервале [pic 54]
В указанный интервал попадает критическая точка Найдем значения функции в этой точке и на концах интервала, а затем выберем из них наибольшее и наименьшее.[pic 55]
...