Системы сравнений. Системы сравнений первой степени

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1.        Теория сравнений        5

1.1 Сравнения в кольце целых чисел        5

1.2 Основные теоремы о сравнениях        6

Выводы по 1 главе        12

2.        Системы сравнений. Системы сравнений первой степени        15

Выводы по 2 главе        20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ        23

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена изучению вопросов, касающихся характеристики систем сравнений.

Актуальность рассматриваемой темы определяется, прежде всего, тем, что основные элементы систем сравнений достаточно широко применяются в рамках совершенно различных по своему содержанию областей экономики, техники и научных знаний. Это направление алгебры является одним из самых важнейших разделов современной теории чисел, а также играет первостепенную роль в рамках построения вузовской системы образования будущих математиков, физиков и прочих специалистов. Однако, вместе с тем, стоит отметить, что данный раздел изучается в настоящее время недостаточно глубоко.  По этой причине рассмотрение вопросов, касающихся характеристики систем сравнений, является особенно актуальным.

Цель работы – представить детальный анализ вопросов, касающихся характеристики систем сравнений.

Задачи исследования:

1. Проследить этапы формирования теории чисел; охарактеризовать сравнения в кольце целых чисел;
2. Обозначить ряд основных теорем о сравнениях;
3. Охарактеризовать системы сравнений, а именно системы сравнений первой степени.

Объект исследования – основные понятия теории сравнений, непосредственно связанные с обозначенной темой исследования.

Предмет исследования – системы сравнения.

По структуре работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

Первая глава исследования посвящена попытке дать краткую характеристику основным понятиям теории сравнений, таким как сравнениям в кольце целых чисел, основным теоремам и свойствам сравнений.

 Во второй главе работы нами предпринята попытка охарактеризовать системы сравнений, а именно системы сравнений первой степени.

Источниковую базу исследования составили научные исследования, посвященные вопросам, касающимся характеристики систем сравнений^[1], а также статьи и монографии последних лет, авторы которых рассматривают отдельные аспекты обозначенной выше темы. 

1. Теория сравнений

1.1 Сравнения в кольце целых чисел

Переходя к рассмотрению вопроса относительно теории сравнений и сравнений в кольце целых чисел, необходимо отметить, что понятие «сравнение» впервые в научный оборот было введено Гауссом. Особо подчеркнем, что несмотря на, прежде всего, свою кажущуюся простоту, понятие «сравнение» имеет много приложений и играет первостепенную роль в рамках дисциплины «Теория чисел».

Для более детальной характеристики сравнений возьмем произвольное, но, прежде всего, фиксированной натуральное число [pic 1] и впоследствии будем характеризовать остатки делении на m различных целых чисел. И именно в рамках рассмотрения процесса деления и основных свойств получаемых остатков и при произведении остатков над ними нам будет намного целесообразнее ввести понятие «сравнение по модулю».

В связи с эти приводим далее представим наиболее общее понятие «сравнение по модулю». Целые числа [pic 2][pic 3] и [pic 4][pic 5] имеют право называться сравнимыми по модулю [pic 6][pic 7], если разность [pic 8][pic 9] делится на [pic 10][pic 11], т.е. если [pic 12][pic 13]. Исходя из выше сказанного можно сделать вывод, что сравнение в теории чисел представляет собой некое соотношение между тремя числами [pic 14][pic 15] и [pic 16][pic 17], причем [pic 18][pic 19], играющее роль своего рода эталона сравнения, будет определяться нами в качестве модуля. В теории чисел выше перечисленное для краткости записывается следующим образом –[pic 20]. Далее отметим, что числа [pic 21] и [pic 22] в данном случае необходимо обозначать, прежде всего, как левую и правую части сравнений. Число [pic 23][pic 24], стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись [pic 25][pic 26] будет означать, что [pic 27][pic 28].