Расчет круглых равномерно нагруженных пластин

Вариант 2

РАСЧЕТ КРУГЛЫХ РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННЫХ ПЛАСТИН

Задача. Дана круглая пластина постоянной толщины, имеющая жесткую заделку по внешнему контуру и нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 1). Исходные данные приведены в таблице 1. Материал пластины – сталь. Механические характеристики материала: модуль упругости Е = 200 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3, допустимое напряжение [σ] = 120 МПа, допустимый прогиб [W] = 10 мм.

Требуется определить функции и значения прогибов φ = φ(r), радиального момента Mr = Mr(r), окружного момента Mt = Mt(r), функции прогиба W = W(r). Построить их графики по радиусу r с шагом 0,5. Определить максимальный прогиб, опасное сечение в пластине. Оценить ее прочность и жесткость.

Таблица 1 - Исходные данные

Решение.

Дано:

- Нагрузка: q = − 1.0 кН/м2 = − 1000 Н/м2 (направлена вниз).

- Радиус пластины: R = 5.0 м.

- Толщина пластины: h = 0.2 м.

- Модуль упругости стали: E = 200 Гпа = 200×109 Па.

- Коэффициент Пуассона:  ν = 0.3.

- Допустимое напряжение: [σ] = 120 МПа.

- Допустимый прогиб: [W]=10 мм.

1. Проверяем ограничения методических рекомендаций.

Условие 1. Максимальный прогиб не превышает 1/5 толщины пластины:

[pic 1]

После расчета прогиба убедимся, что Wmax < 40 мм. Условие выполняется, так как допустимый прогиб [W] = 10 мм ˂ 40 мм.

Условие 2. Соотношение толщины и радиуса для сплошной пластины  h < R/3.

[pic 2]

Условие выполняется: h = 0.2 м. ˂1.67 м.

2. Рассчитаем коэффициент цилиндрической жесткости D по формуле:

[pic 3]

Подставляем значения и получаем:

[pic 4]

D характеризует жесткость пластины на изгиб. Чем больше D, тем меньше прогиб при заданной нагрузке.

3. Определяем угол поворота нормали φ(r).

Уравнение для сплошной пластины:

[pic 5]

Подставляем значения и получаем:

[pic 6]

Физический смысл: φ(r) показывает, наклон нормали к срединной поверхности. На краю (r=R) угол равен нулю из-за жесткой заделки.

4. Рассчитаем прогиб W(r):

Прогиб определяется интегрированием угла поворота:

[pic 7]

Интегрирование:

[pic 8]

Подставляем значения и получаем:

[pic 9]

Максимальный прогиб в центре (r = 0):

[pic 10]

Проверяем условия Wmax < [W]:

|Wmax| = 0.0667 мм. ≤ 10 мм. – жесткость обеспечена.

5. Рассчитаем моменты Mr(r) и Mt(r)

Формулы для вычисления радиальных и окружных моментов:

 и .[pic 11][pic 12]

Вычисление производной:

[pic 13]

Подставляем значения в формулы:

[pic 14]

[pic 15]

При r=0:

[pic 16]

При r=R=5:

[pic 17]