Основные логические операции над высказываниями

МОДУЛЬ I.

ОСНОВЫ  ЛОГИКИ

Предметом математической логики является разработка методов доказательства математических утверждений с помощью умозаключений  на основе законов человеческого мышления.

     Ещё древнегреческий ученый Аристотель (384–322 г.г. до н.э.) систематизировал известные до него сведения по логике рассуждений и создал так называемую формальную логику, которая впоследствии стала называться аристотилевой.

     Спустя много столетий, немецкий ученый Г. Лейбниц (1646–1716) предложил идеи символической логики. Его идеи были развиты английским ученым Д. Булем (1815–1864). Д. Буль создал алгебру, в которой высказывания обозначались буквами и над высказываниями были определены специальные операции, обладающие рядом специфических свойств. Это привело к алгебре высказываний и на её основе была создана математическая логика.

     Математическая логика получила дальнейшее развитие в трудах Фреге Г. (1848–1925), Д. Пеано (1858–1932), Д. Гильберта (1862–1943), которые применили аппарат математической логики для обоснования арифметики и теории множеств. Большой вклад в развитие математической логики внесли отечественные ученые Жегалкин И.И. (1869–1947), Гливенко В.И. (1897–1940), Колмогоров А.Н. (1903–1980), Марков А.А., Мальцев А.И. (1909–1967), Новиков П.С.  и др. Особенно важное значение математическая логика приобрела при построении теорий на основе аксиоматического метода (геометрия, теория групп, арифметика, теория множеств и т.д.). В связи с этим возникла задача построения формализованной аксиоматической теории самой математической логики.

     В настоящее время математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Лекция 1

Основные логические операции над высказываниями

Цель:

Под высказыванием мы будем понимать грамматически правильно построенное повествовательное предложение, про которое можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно. В логике принят закон исключенного третьего: высказывание может быть истинным, либо ложным – третьего не дано. Кроме того, высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия). Простое повествовательное предложение называется простым или элементарным высказыванием. Высказывания мы будем обозначать строчными или прописными латинскими буквами с индексами или без них, например, a, b, c,…, x, y, z, a1, a2, a3, A, B, C,…, X, Y, Z и т.д., отвлекаясь от их содержания. Из простых высказываний с помощью частицы «не», союзов «и», «или», слов «если…, то…»,  «тогда и только тогда»  можно составлять составные или сложные высказывания, к которым снова можно применять эти связки. Эти связки называются сентенциональными связками. Сложные высказывания также могут быть истинными или ложными в зависимости от того, истинны или ложны исходные высказывания, и какие при этом использовались связки. В алгебре высказываний сентенциональным связкам соответствует пять логических операций. Приведем соответствующие определения этих операций.

Определение 1. Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, обозначаемое [pic 1] (или [pic 2]) (читается: не х; не верно, что х), которое будет истинным, если х ложно, и наоборот.

Определение 2. Конъюнкцией двух высказываний х и y называется новое высказывание, обозначаемое x & y (или х[pic 3]у, или х .у, или ху), (читается х и у), которое будет истинным в одном и только одном случае, когда оба высказывания х и у истинны.

Логический союз «и» не обязательно должен представляться через грамматический союз «и». С союзом «и» часто совпадают по смыслу союзы «а» и «но». Однако языковая ситуация может стать такой, что союз «и» перестает играть роль конъюнкции. Пусть, например, х=«Ему стало страшно», у=«он убил человека». Составим два сложных высказывания: «Ему стало страшно и он убил человека», «Он убил человека и ему стало страшно». Здесь одно простое предложение обуславливает другое, поэтому мы имеем здесь скрытое условное предложение, а не конъюнкцию.