Множества и способы их задания

Множества[pic 1][pic 2]

Множества и способы их задания Операции над множествами Разбиения и покрытия[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Декартово произведение множеств[pic 11][pic 12]

задания[pic 13][pic 14]

lонятие множества прина11лежит к числу фун11аментальных понятий математики.

Мно;ясество - совокупность объектов, объе11иненных по опре11еленному признаку.

Объекты, из которых составлено множество называются его элементами .

буквами латинского алфавита:[pic 15][pic 16]

A, B, C, . . .        или        X1, X2, . . . ,

а их элементы - строчными:

a, b, c, . . .        или x1, x2, . . .

M обозначается x ∈ M (x прина11лежит M ): а то, что x не является элементом M ,[pic 17][pic 18]

обозначается через x /∈ M (x не прина11лежит

M ).

Множество называется конечнtм, если число его элементов конечно. Множество, не[pic 19][pic 20]

являющееся конечным, называется бесконечнtм.

Некоторые множества чисел так часто используются, что имеют стан11артные названия и обозначения:

∅ - пустое множество:[pic 21]

N = {1, 2, 3, . . .} - множество натуральных чисел:

Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} - множество �елых чисел:[pic 22]

Q =        p : p        Z, q        N        - множество

q

ра�иональных чисел:

R = {всc dcс.яrnШ'1ыc dробШ} - множество 11ействительных (вещественных) чисел.

элементы ему прина11лежат. Существует 11ва способа за11ания множеств: перечисление и описание.[pic 23][pic 24]

Опособ пcрc'Шслc1Ш.я:[pic 25]

M = {a1, a2, . . . , ak}.

Такой способ у11обен при рассмотрении конечных множеств.

указывается характерное свойство, которым обла11ают все элементы. Например,[pic 26][pic 27]

A = {x : x - четное},

B = {x : x2 − 3x + 2 = 0} = {1, 2},

C = {x ∈ N: x2 + x − 2x = 0} = {1},

2N = {x : x = 2n, n ∈ N} - множество всех четных натуральных чисел.

13 11альнейшем бу11ем использовать некоторые логические символы:[pic 28][pic 29]

символ ∀ - <11ля любого>, <любой> и т. п.: символ ∃ - <существует>:[pic 30][pic 31]

символы ⇒ и ⇐ - <сле11ует>, <вытекает>: символ ⇔ - <равносильно>.[pic 32][pic 33]

множества B, если всякий элемент из A[pic 34][pic 35]

является элементом B.

Этот факт обозначается так: A ⊂ B.

11иаграмма 13енна приве11ена на рисунке:[pic 36][pic 37]

[pic 38]

)Jва множества равнt , если они являются по11множествами 11руг 11руга:[pic 39][pic 40]

A = B        ⇔        A ⊂ B        и B ⊂ A.

необхо11имо проверить справе11ливость 11вух утверж11ений:[pic 41][pic 42]

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

и

∀x ∈ B ⇒ x ∈ A.

сво'ИсrnвамШ:[pic 43][pic 44]

1. 11ля ∀A        A ⊂ A:
2. 11ля ∀A, B        A ⊂ B и B ⊂ A ⇒ A = B:
3. 11ля ∀A, B, C        A ⊂ B и B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

1. очеви11но:[pic 45][pic 46]
2. из опре11еления:
3. если x ∈ A ⇒ x ∈ B и x ∈ B ⇒ x ∈ C, то

x ∈ A ⇒ x ∈ C, сле11овательно A ⊂ C.

Число элементов в конечном множестве A[pic 47][pic 48]