Квадратнi рiвняння з параметром

КВАДРАТНІ   РІВНЯННЯ   З  ПАРАМЕТРОМ

                        Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена  , приходимо до рівності:[pic 1]

[pic 2]

        Вираз  D= b2 - 4ас  називають дискримінантом.

Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів (D<0). Корені квадратного рівняння  х1 і х2 дорівнюють:

[pic 3];

[pic 4].

        Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тож зауважимо, що вирази  «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж.

        Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння  - парне число, тобто b = 2k,

то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою: [pic 5], де [pic 6], [pic 7].

        До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х1 і х2  рівняння  ах2 + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:

[pic 8]              [pic 9]

.

      Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням.

        Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х2  дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків. 

Рівняння з вимогою

«розв’язати для всіх значень  параметра»

        Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.

[pic 10]

Приклад 1. Розв’язати рівняння    ax2 – 2x + 4 = 0.

Розв’язання

Якщо a = 0, то x = 2.  

Якщо  а ≠ 0, то рівняння є квадратним.

D = 4 – 16a. 

Якщо  D < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має.

Якщо D = 0, тобто a = 0,25,  то x = 4.

Якщо  D > 0, тобто a < 0,25 , то рівняння має два кореня

x1,2 = .[pic 11]

Приклад 2.  Розв’язати рівняння  x2 − 2x + a = 0.[pic 12]

Розв’язання

Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта:

D =1− a .

Якщо  а > 1, то D < 0,  то коренів немає.

Якщо  а = 1, то D = 0, то отримаємо один корінь  х = 1.

Якщо  а < 1, то D > 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня   x1,2 =1± 1− a .

Відповідь. Якщо  а > 1, то розв’язків немає;

Якщо  а = 1, то  х = 1; якщо а < 1, то  x1,2 =1± 1− a .