Интегралдар

1-есеп. y=x3 –кубтық парабола  және   x+y=10, x-y=4, y=0 түзулерімен шектелген аймақта  қос интегралды есептеу формуласын жаз.

Шығарылуы.

      Берілген аймақтың суретін саламыз.

 у = x3 –кубтық парабола координатаның бас нүктесі арқылы өтеді,

 y =10 - x  түзуі (0;10) және (10;0), ал

  y = x - 4 түзуі (4;0) және (5;1) нүктелері арқылы өтеді.

Сонымен, ОАВСО-аймағын  алдық. А,В,С нүктелерінің координаталарын табу үшін осы нүктелерді сәйкес қисықтардың қиылысу нүктелері ретінде қарастырып,теңдеулер жүйелерін құрамыз. Сол жүйелердің шешімдері осы нүктелердің координаталарын береді:

[pic 1]

[pic 2]

х – айнымалысының өзгеру аймағын  тұрақты деп есептесек, іздеп отырған қос интеграл үш қайталама интегралдық қосындысынан тұратындығы   8-суреттен көрініп тұр.

[pic 3]

8-сурет. Аймақтың суреті

Сонымен,

[pic 4]

[pic 5]

Егер у – айнымалысының өзгеру аймағын тұрақты деп алсақ,

[pic 6]

болатындығына көз жеткізу қиын емес.

2 - есеп. Қос интегралды есептеңіз:

[pic 7]

Шығарылуы.

D-аймағының   суреті  төменде  көрсетілген (9-сурет). Жоғарыда берілген  әдіспен  қисықтардың қиылысу нүктелерін табамыз:

                                          А ([pic 8][pic 9]);

                                           В ( [pic 10]);

                                           C ( 4 ; 4).

[pic 11]

9-сурет. Берілген аймақтың суреті

Егер   [pic 12] болса,  [pic 13].

Ал, егер   [pic 14]   болса,   x ≤ y ≤ 4 болатындығын

9-суреттен көруге болады.

Сондықтан,

[pic 15]   

                             [pic 16]                                         (5.4)

Ал, егер у – айнымалысы тұрақты аралықта өзгеретін болса:

[pic 17]                        (5.5)

(5.4) және (5.5) интегралдардың нәтижелері өзара тең болатындығын жоғарыда атап өттік. Сондықтан, осы интегралдардың қайсысын есептеу оңай болатындығын ескеру қажет. Осы мысалда (5.5) интегралды есептеу тиімді, себебі мұнда бір ғана қайталама интеграл бар, ал (5.4)–де екі қайталама интеграл.