Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Закон больших чисел от Бернулли до Маркова

Автор:   •  Февраль 17, 2019  •  Реферат  •  1,003 Слов (5 Страниц)  •  383 Просмотры

Страница 1 из 5

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

Самарский Государственный Технический Университет

Реферат на тему

"Закон больших чисел от Бернулли до Маркова"

Выполнил: студент II-АИТ-7

Казаков В.А

Проверила: Павлова И.Н

Самара 2012


1. ПОНЯТИЕ БЕРНУЛЛИ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть производится [pic 1] независимых испытаний, причем вероятность появления события [pic 2] в каждом испытании равна [pic 3], тогда вероятность наступления события [pic 4] равна [pic 5].

Найдем вероятность того, что при [pic 6] испытаниях событие [pic 7] наступит [pic 8] раз [pic 9].

Пусть событие [pic 10] наступило в первых [pic 11] испытаниях [pic 12] раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения ([pic 13] раз, [pic 14] раз):

[pic 15]

Общее число сложных событий, в которых [pic 16] наступает [pic 17] раз, равно числу сочетаний из [pic 18] элементов по [pic 19] элементов. При этом вероятность каждого сложного события: [pic 20]. Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Итак, если [pic 21] есть вероятность появления события [pic 22] раз в [pic 23] испытаниях, то

[pic 24]

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а)три; б) не менее трех. Решение. а) В данном случае [pic 25]. Применяя формулу Бернулли, получим


[pic 26]

б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей [pic 27].

Но [pic 28].

Поэтому [pic 29].

Мы уже определяли понятие вероятности в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения вероятности. Рассмотрим статистическое определение.

Существует множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Назовем частотой какого-либо случайного события [pic 30] в данной серии из [pic 31] испытаний отношение [pic 32]числа [pic 33] тех испытаний, в которых событие [pic 34] наступило, к общему их числу. Наличие у события [pic 35] при определенных условиях вероятности, равной [pic 36], проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события [pic 37]приблизительно равна [pic 38]. Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты ([pic 39] испытаний, [pic 40] — число выпадений “герба”):

[pic 41]

И чем больше число испытаний [pic 42], тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты [pic 43] от вероятности [pic 44]— частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.

Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события [pic 45] в последовательности [pic 46] независимых испытаний постоянна и равна [pic 47], пусть [pic 48] — число появлений события [pic 49] во всех [pic 50] испытаниях. Тогда для любых [pic 51] при достаточно большом [pic 52] имеет место неравенство

...

Скачать:   txt (13.7 Kb)   pdf (238.7 Kb)   docx (72.2 Kb)  
Продолжить читать еще 4 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club