Закон больших чисел от Бернулли до Маркова

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

Самарский Государственный Технический Университет

Реферат на тему

"Закон больших чисел от Бернулли до Маркова"

Выполнил: студент II-АИТ-7

Казаков В.А

Проверила: Павлова И.Н

Самара 2012

1. ПОНЯТИЕ БЕРНУЛЛИ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть производится [pic 1] независимых испытаний, причем вероятность появления события [pic 2] в каждом испытании равна [pic 3], тогда вероятность наступления события [pic 4] равна [pic 5].

Найдем вероятность того, что при [pic 6] испытаниях событие [pic 7] наступит [pic 8] раз [pic 9].

Пусть событие [pic 10] наступило в первых [pic 11] испытаниях [pic 12] раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения ([pic 13] раз, [pic 14] раз):

[pic 15]

Общее число сложных событий, в которых [pic 16] наступает [pic 17] раз, равно числу сочетаний из [pic 18] элементов по [pic 19] элементов. При этом вероятность каждого сложного события: [pic 20]. Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Итак, если [pic 21] есть вероятность появления события [pic 22] раз в [pic 23] испытаниях, то

[pic 24]

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а)три; б) не менее трех. Решение. а) В данном случае [pic 25]. Применяя формулу Бернулли, получим

[pic 26]

б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей [pic 27].

Но [pic 28].

Поэтому [pic 29].

Мы уже определяли понятие вероятности в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения вероятности. Рассмотрим статистическое определение.

Существует множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Назовем частотой какого-либо случайного события [pic 30] в данной серии из [pic 31] испытаний отношение [pic 32]числа [pic 33] тех испытаний, в которых событие [pic 34] наступило, к общему их числу. Наличие у события [pic 35] при определенных условиях вероятности, равной [pic 36], проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события [pic 37]приблизительно равна [pic 38]. Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты ([pic 39] испытаний, [pic 40] — число выпадений “герба”):

[pic 41]

И чем больше число испытаний [pic 42], тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты [pic 43] от вероятности [pic 44]— частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.

Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события [pic 45] в последовательности [pic 46] независимых испытаний постоянна и равна [pic 47], пусть [pic 48] — число появлений события [pic 49] во всех [pic 50] испытаниях. Тогда для любых [pic 51] при достаточно большом [pic 52] имеет место неравенство