Аналіз застосування конгруенцій в математиці

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………..3

1. Конгруенції та їх основні властивості……………………………………...…5

2. Ознаки подільності……………………………………………………………11

3. Перевірка результатів арифметичних дій……………………………………13

4. Визначення числа цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий………………………………………………………………………

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………...34

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………..36

ВСТУП

Актуальність теми дослідження. Наше суспільство зазнає ряд істотних змін, зростанням кількості інформації, ментальності, світогляду та ставлення до інших веде до глибоких, багаторівневих змін. Наука також не стоїть на місці, і з кожним роком все більше і більше суспільство дізнається про нові теорії, дослідження в області математики. Як і з багатьма поняттями, які ми вивчаємо з курсу алгебри, конгруентність проста, можливо, знайома, і надзвичайно корисна та потужна у вивченні теорії чисел. Цим питанням займалися такі видатні вчені як К.Ф. Гаус, Ейлер Б., Паскаль, Ферма.

Якщо  т — ціле додатне число, ми говоримо цілі числа а  і  b конгруентні по модулю т  якщо вони мають однакову остачу при діленні на т. (Під залишком, звичайно, ми маємо на увазі невід’ємне число р, що визначається алгоритмом ділення). Це позначення, а також велика частина елементарної теорії конгруентності належить відомому німецькому математику Карлу Фрідріху Гаусу — безумовно, видатному математику свого часу і, можливо, найбільшому математику всіх часів.[pic 1]

П'єр Ферма (1601-1665) - відомий свого часу юрист і радник судового парламенту в Тулузі - з великим успіхом займався різними математичними питаннями. П. Ферма є одним з творців диференціального числення і теорії ймовірності, але особливо велике значення мають його роботи по теорії чисел. Більшість теоретико-числових результатів П. Ферма записувалися ним на полях примірника твору Діофанта „Арифметика”; Ферма зазвичай не наводив доведення, а давав тільки короткі вказівки про метод, який він застосовував для отримання свого результату. Твір Ферма під назвою „Opera Varia" був  виданий вперше в 1679 р. Гіпотеза Ферма, викладена у ньому, була наведена в одному з листів, посланому їм в 1640 р. Френікелю. У цьому листі Ферма пише, що він отримав доведення цієї теореми; проте саме доведення не було ним опубліковане.

Перше з відомих доведень теореми Ферма належить Лейбніцу (1646-1716). Доведення Лейбніца було засноване на розгляді конгруенції:[pic 2]

Ейлер дав декілька різних доведень теореми Ферма, з яких перше відноситься до 1736 р. У 1760 р. Ейлер узагальнив теорему, надавши їй вигляду теореми 120, що носить його ім'я. Треба при цьому мати на увазі, що термінологія і позначення у Ферма і у Ейлера абсолютно відмінні від сучасних.

Блез Паскаль (1623-1662) - видатний французький математик, фізик і філософ. Математичні інтереси Паскаля дуже різноманітні: він зробив істотний внесок у розвиток аналізу нескінченно малих; разом з Ферма Паскаль є основоположником теорії ймовірностей; йому належать загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, яка ґрунтується на знанні суми цифр числа, а також спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів ("Арифметичний трикутник ″); він вперше точно визначив і застосував для доведення метод повної математичної індукції

Мета дослідження: визначити та проаналізувати застосування конгруенцій в математиці.

Визначена мета передбачає вирішення наступних завдань:

1. Дослідити поняття конгруенції та її застосування у математиці.

2. Вказати застосування конгруенції до встановлення ознак подільності

3. Вказати застосування конгруенцій до розв’язування невизначених рівнянь з двома змінними.

4. Знайти застосування конгруенції в реальному житті.

Об’єкт  дослідження – теорія чисел.

Предмет  дослідження – конгруенції та їх застосування.