Исследование зависимости разрешающей способности спектральной оценки сигнала методом максимальной энтропии от количества отсчетов авто

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Физический факультет

Кафедра информационных технологий в физических исследованиях

Исследование зависимости разрешающей способности спектральной оценки сигнала методом максимальной энтропии от количества отсчетов автокорреляционной функции.

_______________________

Отчёт по лабораторной работе

Выполнил:

студент  534 группы

Проверил:

Нижний Новгород

2015 г.

Цель работы: построить зависимость разрешающей способности спектральной оценки методом максимальной энтропии от количества отсчетов автокорреляционной функции и исследовать ее.

Теоретическая часть:

Имеется модель дискретного сигнала, представляющая собой сумму N синусоид с разной частотой, амплитудой и фазой:

, где[pic 1]

 – амплитуда i-той синусоиды;[pic 2]

 – линейная частота i-той синусоиды;[pic 3]

 – фаза i-той синусоиды;[pic 4]

В нашем случае i меняется от 1 до 2.

На Рис. 1 приведен пример графика нашей модели сигнала

[pic 5]

Рис. 1. График сигнала

Чтобы посчитать значение разрешающей способности, нам необходимо для начала построить график спектральной оценки, после чего мы без труда сможем найти интересующую нас величину.

Находить СПМ нам необходимо с помощью метода максимальной энтропии (в дальнейшем ММЭ). Функция СПМ обладает свойствами вероятностных распределений: неотрицательна () и может быть отнормирована на единицу (). Исходя из этого, мы можем написать энтропийный функционал, который мы должны максимизировать:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

В качестве линейного ограничения использовалось выражение из теоремы Винера-Хинчина:

[pic 9]

где T-период дискретизации

В дискретном виде формула линейного ограничения выглядит следующим образом:

[pic 10]

Так как сигнал у нас действительный, то функционал энтропии может быть записан следующим образом:

[pic 11]

Дифференцируя функционал энтропии по  и приравнивая получившееся выражение к нулю, находим формулу для нахождения :[pic 12][pic 13]

[pic 14]

Чтобы посчитать , нам необходимо знать , поэтому последнее выражение мы подставляем в наше линейное ограничение и получаем систему нелинейных уравнений, из которой мы найдем наши :[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Решать такую систему будем с помощью метода наименьших квадратов. Составляем многомерный функционал, представляющий собой сумму невязок (квадрат разности левой и правой части), и минимизируем его:

[pic 19]

Существует очень много методов многомерной оптимизации:

1. Методы прямого поиска

1.1. Общая характеристика методов нулевого порядка 6

1.2. Метод Гаусса Зейделя (покоординатный спуск)

1.3. Метод Хука Дживса

1.4. Метод вращающихся направлений (Розенброка)

1.5. Метод поиска по симплексу. Метод Нелдера Мида

1.6. Методы сопряженных направлений (Пауэлла)

2. Методы первого порядка

2.1. Метод наискорейшего спуска (Коши)

2.2. Методы сопряженных градиентов

3. Методы 2-го порядка (Ньютоновские методы)

3.1 Методы, использующие производные второго порядка

3.2. Модификации метода Ньютона

3.3. Метод Ньютона Рафсона

3.4. Метод Марквардта

4. Методы переменной метрики

4.1. Квазиньютоновские методы

4.2. Методы Пирсона

4.3. Метод Дэвидона Флетчера Пауэлла

4.4 Метод Бройдена Флетчера Шенно

4.5. Методы Пауэлла и Мак Кормика