Каноническое разложение натурального числа

                         Каноническое разложение натурального числа.

Каноническое разложение натурального числа – это простое разложение этого числа на множители. Это означает, что каждое натуральное число можно записать как произведение простых чисел уникальным способом.

Например, каноническое разложение 24 равно 2 * 2 * 2 * 3, 24 можно записать как произведение этих простых чисел.

Задание:

Чему равна сумма делителей числа 360?

Чтобы ответить на данный вопрос, мы сначала найдем простое разложение числа 360:

[pic 1]

Далее мы воспользуемся формулой для вычисления суммы делителей натурального числа:

[pic 2]

где  – различные простые множители числа, а ,  – их соответствующие показатели.[pic 3][pic 4][pic 5]

Используя эту формулу, мы можем найти сумму делителей 360:

 (360)= (+++)*()*() = 15 * 13 * 6 = 1170[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Следовательно, сумма делителей 360 равна 1170.

Каноническое разложение натурального числа полезно во многих областях математики, включая теорию чисел, алгебру и криптографию. Это также важная концепция в информатике и программировании, где она используется для оптимизации алгоритмов для определенных вычислений.

1. Ортогональная система векторов.

В линейной алгебре набор векторов называется ортогональным, если все пары векторов в наборе перпендикулярны друг другу. Более формально, набор векторов  называется ортогональным, если точечное произведение любых двух различных векторов в наборе равно нулю:[pic 13]

 для i ≠ j[pic 14]

Здесь точечное произведение двух векторов v и w определяется как:

v . w = [pic 15]

где , , ..., и , , ...,  – компоненты векторов v и w.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Ортогональная система векторов важна в линейной алгебре, поскольку она позволяет нам выразить любой вектор как линейную комбинацию ортогональных векторов, т.е. ортогональное разложение вектора.

Рассмотрим несколько примеров ортогональных систем векторов:

Стандартные векторы в двумерном пространстве {i, j} ортогональны. Вектор i определяется как (1, 0), а вектор j определяется как (0, 1). Точечное произведение любых двух различных векторов в этом наборе равно нулю, поэтому это ортогональная система.

Векторы {1, 1} и {-1, 1} ортогональны. Точечное произведение этих двух векторов следующее:

{1, 1} . {−1, 1} = (1)(−1) + (1)(1) = 0

Векторы {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, и {0, 0, 1} образуют ортогональную систему в трехмерном пространстве. Эти векторы известны как стандартные базисные векторы в трехмерном пространстве, и они ортогональны друг другу.

Полиномы Лежандра – это набор ортогональных многочленов, которые используются в математическом анализе. n-й многочлен Лежандра обозначается через , и он ортогональен всем многочленам Лежандра более низкой степени (Рис.1).[pic 23][pic 22]

Это всего лишь несколько примеров ортогональных систем векторов. В целом, ортогональные системы используются во многих областях математики и физики, таких как анализ Фурье, квантовая механика и обработка сигналов.[pic 24]

1. Евклидово векторное пространство.

В математике векторное пространство – это набор объектов, называемых векторами, которые могут быть сложены вместе и умножены на скаляры (обычно действительные числа). Евклидово векторное пространство – это особый тип векторного пространства, которое оснащено дополнительной структурой, называемой внутренним произведением, которая позволяет нам измерять угол между векторами и длину (величину) векторов. Евклидовы векторные пространства используются в широком спектре математических и научных приложений, включая физику, инженерное дело и компьютерную графику. В таблице представлено применение евклидового векторного пространства (Табл.1):