Вейл Аксиоматикасы

Мазмұны

Кіріспе

Вейл Аксиоматикасы

Сызықтық векторлық кеңістіктің аксиомалары

Өлшем аксиомалары

Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің аксиомалары

Векторлық тұндыру аксиомалары

Аксиома жүйесіне қойылатын талаптар

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

Кіріспе

Герман Вейл (1885--1955) біздің ғасырдың басында ғылымға енді. Бұл математиканың барлық дерлік салаларында өздерінің жеке басының ізін қалдыра алған бірнеше ұлы ғалымдардың бірі. Оның ұстазы Дэвид Гильберттің лайықты мұрагері және неміс математика мектебінің дәстүрлерін жалғастырушы. Ғалым ретінде ол Д. Гильберттің әсерінен іргелі физиканың математикалық құрылымдарына, физикалық теориялардың аксиоматикасы мәселелеріне, бірыңғай өріс теориясын құруға ерекше қызығушылық тудырды. 1918 жылы "кеңістік, уақыт, материя" эссесінде Вейл Риман геометриясының кеңеюіне және электромагниттік өрісті геометриялық құбылыс ретінде түсіндіруге негізделген алғашқы шынайы геометрияланған тұжырымдаманың "бірыңғай өріс теориясының" нұсқасын жасады.

Вейл Аксиоматикасы

Вейл аксиоматикасында екі Анықталмайтын ұғым бар: нүкте-жиынның элементі Т және Вектор-жиынның элементі V.

Төрт негізгі қатынас: векторлардың қосындысы, вектордың нақты санға көбейтіндісі, векторлардың скалярлық көбейтіндісі, векторды нүктеден қою.

Аксиомалардың төрт тобы:

I. сызықтық векторлық кеңістіктің аксиомалары;

II. Өлшем аксиомалары;

III. Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің аксиомалары;

IV. Векторлық тұндыру аксиомалары.

Сызықтық векторлық кеңістіктің аксиомалары

Аксиомалардың бірінші тобы векторларды қосу операциясы деп аталатын картаны сипаттайды , кез - келген екі векторға мүмкіндік береді және үшінші векторды-олардың қосындысын аксиомалар орындалатын етіп жатқызады:

V1: векторларды қосу коммутативті.

                                                          [pic 1][pic 2]

V2: векторларды қосу ассоциативті.

V3: теңдік үшін нөлдік вектор бар.

V4: үшін қарама-қарсы вектор бар .

Аксиомалардың екінші тобы векторды санға көбейту операциясы деп аталатын картаны сипаттайды , әр вектор мен сан аксиомалар орындалатын етіп вектордың көбейтіндісі деп аталатын векторды санға ерекше жатқызады:

Сызықтық векторлық кеңістіктің аксиомалары

V5: көбейту операциясы векторларды қосуға қатысты таратылады.

[pic 3][pic 4]

V7: векторды санға көбейту операциясы ассоциативті.

V8: векторды бірлікке көбейту операциясы векторды өзгертпейді .

Теорема 1.5. 0 санындағы кез-келген вектордың көбейтіндісі нөлдік векторға тең.[pic 5]

        [pic 6][pic 7]

Дәлел. Бір жағынан бізде бар . Екінші жағынан, алынған теңдіктің екі бөлігіне де векторға қарама-қарсы векторды қосу арқылы біз аламыз .Осылайша,, яғни.

Теорема 1.6. Вектор үшін қарама-қарсы вектор тең , яғни..

Теорема 1.7. Нақты санның нөлдік векторға көбейтіндісі нөлдік векторға тең, яғни

Векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады, егер теңдік кейбір тұрақтылар үшін орындалса және

Өлшем аксиомалары

D1: үш сызықтық тәуелсіз Вектор бар , яғни егер

D2: кез-келген төрт Вектор сызықтық тәуелді, яғни егер .

Үш сызықтық тәуелсіз векторлардың кез-келген жүйесі берілген үш өлшемді векторлық кеңістіктің негізі деп аталады.

Теорема: векторлық кеңістіктің кез-келген векторын негіз векторлары бойынша ыдыратуға болады.[pic 8]

                                        [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]