Эллипсоидтық нормаль қимасы. Эллипсоидтағы берілген нүктедегі қисық радиусы

Дәріс №4

ГЕОДЕЗИЯЛЫҚ СЫЗЫҚ. МЕРИДИАНДАР МЕН ПАРАЛЛЕЛЬДЕР ДОҒАСЫНЫҢ ҰЗЫНДЫҒЫ. ҰШБҰРЫШТЫ ЭЛЛИПСОИД БЕТІНДЕ ШЕШУ. ТУРА ЖӘНЕ КЕРІ ГЕОДЕЗИЯЛЫҚ ЕСЕП

Дәріс жоспары:

1. Эллипсоидтық нормаль қимасы. Эллипсоидтағы берілген нүктедегі қисық радиусы
2. Түсірілген трапецияның есебі

1 Эллипсоидтық нормаль қимасы. Эллипсоидтағы берілген нүктедегі қисық радиусы

Эллипсоид бетіне нормаль арқылы сансыз жазықтықтар жүргізуге болады. Бұл жазықтық эллипсоид бетінде берілген нүктедегі жанамалай жазықтыққа перпендикуляр болып нормаль деп аталады. Нормаль жазықтық қилысынан эллипсоид бетіндегі берілген нүктеге жүргізілген қилыс арқылы пайда болған қисық нормаль қима деп аталады. Әрбір нүктеде өзара перпендикуляр екі қима болады, мұндағы қисық минимальды және максимальды мәндерге ие болып, басты нормаль қима деп аталады.  

Басты нормаль қима болып меридиандық және бірінші вертикаль қимасы аталады.

[pic 1] 

Сечение первого вертикала

нормаль

нормаль

Меридиандық қима дегеніміз берілген нүкте арқылы екі полюске өтетін қима. Бірінші вертикаль қимасы дегеніміз берілген нүкте арқылы меридиандық қимаға перпендикуляр қиманы айтады.

Меридиан қисығының радиусы М. арқылы белгіленеді.

Бірінші вертикаль қисығының радусы N. Арқылы белгіленеді.

Меридиан қисығының радиусы (М) келесі формуламен анықталады.

[pic 2]

Мұндағы  а – эллипсоидтық үлкен жарты өсі; е – бірінші эксцентриситет; В – берілген нүктенің геодезиялық ендігі.

Ендік В 0 ден 90º ұлғаюмен меридиан қисығының радиусы ұлғайады және В=90º болғанда максимальды мәніне жетеді. Меридиандық эллипстің қисық радиусы полюста қисықтың полярлы радиусы деп аталады және с, арқылы белгіленеді сонда

[pic 3]

келесі болғандықтан  немесе                 , онда:                          [pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7] болғандықтан келесі түрде жазуға болады:

[pic 8]

Соңғы нәтижеде:

[pic 9][pic 10]

Егер: [pic 11],

мұндағы W – геодезиялық ендіктің бірінші негізгі функциясы, онда:[pic 12]

[pic 13]деп қабылдасақ

Мұндағы  V – геодезиялық ендіктің екінші негізгі функциясы

және [pic 14]ескерсек  [pic 15]  онда:

[pic 16]

немесе  [pic 17]

[pic 18]

нәтижесінде:

[pic 19]

[pic 20]

Бірінші вертикалдың қисық радиусынан қорытынды шығару үшін келесі теорияны пайдалануға болады: егер жер бетіндегі нүкте арқылы екі қима жүргізілген – нормаль және еңістетілген.

[pic 21]

Аталған жағдайда еңістетілген қима параллел жазықтығы болады және радиусы келесі формуламен анықталады:

[pic 22]

 Осыдан бірінші вертикалдың (N) қисық радиусы келесі формуламен анықталады:

[pic 23]

немесе:[pic 24]

сондай-ақ келесі формуламенде анықтауға болады:

[pic 25]

мұндағы  [pic 26]

берілген нүктедегі орташа радиус шектік деп аталады және нормаль қиманың радиус мәндері шексіздікке ұмтылғанда олардың арифметикалық орташасына тең деп алынады.

Қисықтың орташа радиусы (R) келесі  формуламен анықталады:

[pic 27]

мұндағы М және N  - берілген нүктедегі меридианмен бірінші вертикалдың қисық радиусы

[pic 28]

[pic 29]

Түсірілген трапецияның рама есебі

Түсірілген трапецияның рама есебі дегеніміз параллелдермен меридиандардың кесіндісі, сондықтан түсіріс трапециясының есебі меридиан және параллель доғасының ұзындығын және түсіріс трапециясының ауданымен оның диагоналын анықтауды қамтиды.