Контрольная работа по "Экономике"

Задание

1. Решить задачу Коши первого порядка на заданном отрезке методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.

y/-x+y-1=0,  y(0)=1, [0;1]

2. Решить задачу Коши второго порядка на заданном отрезке. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.

y//-5y/=3x2+sin5x, y(0)=-2, y/(0)=-3, [0;2]

3. Применяя метод конечных разностей, решить дифференциальное уравнение с краевыми условиями. Интерполировать решение многочленом третьей степени. Построить графики.

(2x+1)y//+(2x-1)y/-2y=x2+x,  y(0)=3.5, 2y(1)+2y/(1)=10

Решение в Excel

1 Задание № 1

1.1Метод Эйлера

В ячейки столбца А  запишем исходные ряды значений x, в ячейку В2 введём  значение у при х равном нулю. Для нахождения y в столбец В вводим:

=B2+0,1*(1+A2-B2)

Растянем столбец В до последнего значения х.Для нахождения точного значения у решим задачу аналитически. В ячейку С2 вводим получившееся значение у аналитического и растягиваем до последнего значения х (рис.1):

[pic 1]

рисунок 1

Построим график по значениям х, у и  уточн (рис.2)

[pic 2]

        рисунок 2

1.2 Метод Рунге-Кутта

Найдём значения у по формуле Рунге-Кутта для этого в столбец А введём значения х ,во вторую ячейку столбца В введём начальное значение у, в столбец С вводим значение  k1(i):

=0,1*(1+A25-B25)

в столбец D вводим значение  k2(i):

=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+C25/2))

в столбец Е вводим значение  k3(i):

=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+D25/2))

в столбец F вводим значение  k4(i):

=0,1*(1+(A25+0,1)-(B25+E25))

В третью ячейку столбца В вводим  расчетную формулу метода Рунге-Кутта:

=B24+(C24+2*D24+2*E24+F24)/6

Растянем столбцы В, С, D, E, F  до последнего значения х(рис.3):

[pic 3]

Рисунок 3

Построим график по полученным значениям у и по найденным ранее значениям уточн (рис.4):

[pic 4]

Рисунок 4

2 Задание № 2

Решим заданное дифференциальное уравнение методом конечных разностей. В столбец А введём значения х, в ячейку столбца В вводим начальное значение у, затем  формулу для вычисления yi:

=B45-3*0,2

В следующую формулу для вычисления yi+1:

=B46*3-B45*2+(3*A46^2+SIN(5*A46))*0,2^2

Растянем столбец В до последнего значения х (рис.5):

[pic 5]

Рисунок 5

Решим уравнение аналитически, и подставим  в ячейку С45 формулу:

=(-9060/6250)+(-3565/6250)*EXP(5*A45)-0,2*A45^3-(3/25)*A45^2-(6/125)*A45-(1/50)*SIN(5*A45)+COS(5*A45)/50

Растянув эту ячейку до последнего значения х, получим точное решение данного уравнения. Построим графики у и уточн по заданным значениям х (рис.6):

[pic 6]

        Рисунок 6

3 Задание № 3

Решение данной задачи заключается в преобразовании уравнения и приведению его к системе уравнений.

Выполнив преобразования и записав первое уравнение для i=1; 2…9 получим

Матрицу коэффициентов с неизвестными y1, y2…y9. В результате таких преобразований получаем матрицу вида (рис.7):

Рисунок 7

Решение в MathCad

Задание №1

Для  численного решения задачи Коши применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D) – решение на отрезке [x1,x2] методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом, где