Контрольная работа по "Экономике"

Вариант 6

Задача 1

По данным 36 стран за 1997 изучается зависимость индекса человеческого развития y от ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 1997 x1 (лет) и суточной калорийности притания населения x2 (ккал на душу). Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции

y 0,83 0,1013 r_(yx_1 )=0,95

x_1 73,58 5,0359 r_(yx_2 )=0,553

x_2 3188,28 299,2201 r_(x_1 x_2 )=0,5333

Постройте уравнение множественной регрессии встандартизированном и натуральном масштабе.

Решение:

Линейное уравнение множественной регрессии y от x_1 и x_2 имеет вид :

y=a+b_1∙x_1+b_2∙x_2

a,b_1,b_2- параметры модели (коэффициенты регрессии).

Для нахождения параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизированном масштабе:

t_y=β_1∙t_(x_1 )+β_2∙t_(x_2 ),

где β_1=(r_(yx_1 )-r_(yx_2 )∙r_(x_1 x_2 ))/(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) ), β_2=(r_(yx_2 )-r_(yx_1 )∙r_(x_1 x_2 ))/(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) ) – β-коэффициенты.

Итак, в нашем случае:

β_1=(r_(yx_1 )-r_(yx_2 )∙r_(x_1 x_2 ))/(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) )=(0,95-0,553∙0,5333)/(1-〖0,5333〗^2 )=(0,95-0,2949149)/(1-0,28440889)=

=0,655/0,715≈0,92

β_2=(r_(yx_2 )-r_(yx_1 )∙r_(x_1 x_2 ))/(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) )=(0,553-0,95∙0,5333)/(1-〖0,5333〗^2 )=(0,553-0,506635)/(1-0,28440889)=

=0,0467/0,715≈0,06

Тогда t_y=0,92∙t_(x_1 ) 0,06∙t_(x_2 ) – уравние множественной регрессии в стандартизированном масштабе.

Далее составим уравнение в натуральном масштабе. Для этого необходимо рассчитать коэффициенты b_1 и b_2.

Формула перехода от стандартизированного коэффициента β_i к коэффициенту мн. регрессии b_i:

b_i=β_i σ_y/σ_(x_i ) ,

где σ_y,σ_(x_i )- средние квадратические отклонения параметров y и x_i состтветственно (данные σ_y,σ_(x_i ) возьмём из таблицы 1).

b_1=β_1 σ_y/σ_(x_1 ) =0,92∙0,1013/5,0359=0,92∙0,02011≈0,02 ,

b_2=β_2 σ_y/σ_(x_2 ) =0,06∙0,1013/299,2201=0,06∙0,00033≈0,00002

Параметр a находится из соотношения:

a=y-b_1∙x_1-b_2∙x_2-⋯-b_i∙x_i ,

y,x_1,x_2,…,x_i- средние значения параметров (данные из таблицы).

Значит,

a=y-b_1∙x_1-b_2∙x_2=0,83-0,02∙73,58-0,00002∙3188,28≈-0,59

.

Получаем уравнение регрессии в натуральном масштабе:

y=a+b_1∙x_1+b_2∙x_2 ⇒ y=-0,59+0,02∙x_1+0,00002 ∙x_2

Определить частные коэффициенты эластичности.

Решение:

Так как нам даны средние значения параметров y,x_1,x_2 частные коэффицинеты эластичности находим по формуле:

Э ̅_(yx_j )=b_j x ̅_j/y ̅ ,

где x ̅_j ,y ̅- средние значения параметров (из таблицы 1). Параметры b_j были рассчитаны раннее в п. 1.

Э ̅_(yx_1 )=b_1 x ̅_1/y ̅ =0,92 ∙73,58/0,83≈81,15%

Э ̅_(yx_2 )=b_2 x ̅_2/y ̅ =0,06∙3188,28/0,83≈248,89%

Коэффициент эластичности отражает степень влияния параметров x_1 и x_2 на y.

Исходя из решения, можно сделать вывод, что с увеличением потребления на 1 % от его среднего значения зависимость человеческого развития возрастает на 82,48 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня человеческого развития на 1 % среднее потребления увеличивается на 248,89% от своего среднего уровня. Очевидно, второе влияет куда более значительно чем первое.

Найти частные и множественный коэффициенты корреляции.

Решение:

Линейные частные коэффициенты корреляции будем рассчитывать по реккурентной формуле:

r_(yx_1 x_2 )=(r_(yx_1 )-r_(yx_2 )∙r_(x_1 x_2 ))/√((1-〖r^2〗_(yx_2 ) )(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) ) )=(0,95-0,553∙0,5333)/√((1-〖0,553〗^2 )(1-〖0,5333〗^2 ) ) ≈0,93

r_(yx_2 x_1 )=(r_(yx_2 )-r_(yx_1 )∙r_(x_1 x_2 ))/√((1-〖r^2〗_(yx_1 ) )(1-〖r^2〗_(x_1 x_2 ) ) )=(0,553-0,95∙0,5333)/√((1-〖0,95〗^2