Контрольная работа по "Математической модели в экономике"

Задача 1

Найти характеристики производства, описываемого ПФ Кобба-Дугласа [pic 1], при затратах [pic 2] (в условных единицах, обозначим их как е.к. и е.т.).

Решение

Функция Кобба-Дугласа в общем виде записывается так:

[pic 3]

Функция Кобба-Дугласа – модель с двумя переменными факторами производства. Параметр А – коэффициент, отражающий уровень технологической производительности, и в краткосрочном периоде он не изменяется. Показатели α и β – коэффициенты эластичности объема выпуска (Y) по фактору производства, т. е. по капиталу К и труду L соответственно.

Коэффициенты эластичности в данном случае составляют:

[pic 4]

Следовательно, при росте затрат капитала на 1% выпуск растёт на 0,5%. Также при росте затрат труда на 1% выпуск растёт на 0,5%.

Объём выпуска при заданных по условию затратах капитала и труда:

[pic 5]

Задача 2

Эластичности выпуска продукции для некоторого производства по капиталу и труду составляют соответственно 0,25 и 0,75 при затратах 50 е.к. и 30 е.к. и объёме выпуска 190 е.п. Найти прирост продукции при затратах 30 е.к. и 10 е.т.

Решение

Функция Кобба-Дугласа в общем виде записывается так:

[pic 6]

С учётом данных условия получаем:

[pic 7]

При затратах 30 е.к. и 10 е.т. находим новый объём выпуска:

[pic 8]

Тогда прирост объёма выпуска:

[pic 9]

Задача 3

Функция полезности для двух товаров имеет вид [pic 10]. Бюджетное ограничение 900 и цены на первый товар 50 и второй товар 20 связаны соотношением [pic 11]. Определить характеристики оптимального набора для потребителя и функции спроса на товары (оптимальное количество каждого из приобретаемых товаров).

Решение

При заданных ценах получаем:

[pic 12]

Оптимум потребителя находится из условия (второй закон Госсена):

[pic 13]

Таким образом, потребитель должен приобрести 9 ед. товара Х и 22,5 ед. товара Y. Денежные средства будут израсходованы полностью. Общая полезность составит: [pic 14]

Задача 4

Решить задачу линейного программирования графическим методом:

[pic 15]

Решение

Строим область ограничений. Строим также прямую z = 0 и нормальный к ней вектор [pic 16], указывающий направление возрастания функции z.

          x2[pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

          8[pic 22]

[pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26][pic 27]

         2,5        n[pic 28][pic 29][pic 30]

        2[pic 31]

          1[pic 32]

                    0,6      A

        -2        -1,5         1        4        8               x1[pic 33]

Перемещая z = 0 в направлении [pic 34], получаем, что первый раз эта прямая пересекает область ограничений в точке А. Находим координаты точки А:

[pic 35]

Тогда решение задачи:

[pic 36]

Задача 5

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трёх станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в таблице. Найдите оптимальные объёмы производства изделий каждого вида.

Решение

Пусть х1 – объём выпуска изделий 1-го вида, х2 – второго. Тогда по условию получаем математическую модель задачи:

[pic 37]

Приведём задачу к каноническому виду. Вводим дополнительные переменные [pic 38]:

[pic 39]

Здесь 600 – это количество минут (600 минут = 10 часов).

Дополнительные переменные будут базисными, остальные – свободными.

Решаем задачу симплексным методом.

В первоначальной таблице в столбце «БП» записываются базисные переменные, «Сб» - коэффициенты при базисных переменных в целевой функции, «bi» - правые части системы ограничений. Далее по столбцам следуют коэффициенты при переменных в системе ограничений.