Расчёт коаксиального волновода с длинной волны λ=1 см

Теоретическая часть

Общие свойства волн типа Т

Пусть гармоническая электромагнитная волна Т-типа распространяется в пространстве, заполненном однородной средой с постоянными, не зависящими от частоты электродинамическими параметрами ,. Волна распространяется вдоль оси z прямоугольной декартовой системы координат. Поскольку, по определению, , первые два уравнения Максвелла[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

принимают следующий вид:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Выведем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять каждая из проекций векторов такого электромагнитного поля в силу уравнений (1) и (2). Для этого возьмем, например, второе уравнение из системы (2), продифференцируем обе его части по , а затем подставим в них величину dHy/dz из первого уравнения системы (1). В результате получим[pic 11]

[pic 12]

Иными словами, -я проекция комплексной амплитуды E(x,y,z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца[pic 13]

[pic 14]

в котором— коэффициент фазы однородной плоской волны с частотой о), которая распространяется в рассматриваемой среде. Несомненно, что такими же окажутся уравнения относительно других проекций, а именно Еу,Нх и Ну.[pic 15]

Путем прямой подстановки убеждаемся, что общее решение уравнения вида (3) имеет вид

. (4)[pic 16]

Данная функция описывает волновой процесс, который распространяется вдоль положительного или отрицательного направления оси  с постоянной, не зависящей от частоты фазовой скоростью , равной скорости света в заполняющей среде.[pic 17][pic 18]

Итак, получен принципиальный результат — волны типа Т в отличие от изученных ранее - и -волн не имеют частотной дисперсии фазовой скорости. Для волн типа продольное волновое число h совпадает с коэффициентом фазы, а поэтому поперечное волновое число . Отсюда непосредственно следует, что критическая длина -волн . Следовательно, волновод с волной типа  в равной мере пропускает колебания любых частот начиная с постоянного тока().[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Распределение поля е поперечном сечении. Скалярный электрический потенциал

Задача об электромагнитном поле Т-волны будет полностью решена, если тем или иным способом найти функции Ех(х,у) и Еу(х,у) , описывающие распределение амплитуды вектора напряженности электрического поля в поперечной плоскости волновода. Аналогичные функции Нх(х,у) и Ну(х,у) получаются при этом автоматически из уравнений Максвелла.

Обратимся к третьему уравнению из системы (2) и заметим, что оно будет удовлетворяться, если положить

. (5)[pic 28]

Здесь  — вспомогательная функция, называемая скалярным электрическим потенциалом. Значения этой функции измеряют в вольтах. Смысл отрицательного знака в правой части равенства (5) будет пояснен несколько позднее.[pic 29]

Действительно, по правилам вычисления градиента в декартовой системе координат

[pic 30]

и поэтому равенство

[pic 31]

будет иметь место при любом выборе функции . Однако следует принять во внимание, что в однородной материальной среде без свободных зарядов электрический вектор должен удовлетворять уравнению, которое в координатной форме записывается так:[pic 32][pic 33]

[pic 34]

Отсюда, воспользовавшись равенствами (6), получаем дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно скалярного электрического потенциала:

.   (7)[pic 35]

Проведенный здесь вывод относился к прямоугольной декартовой системе координат. Однако его можно применить к любой другой системе, так как во всех случаях должно выполняться равенство

[pic 36]

Конкретная запись оператора Лапласа , действующего по поперечным координатам, зависит от выбора координатной систем.[pic 37]