Компьютерные системы конечно-элементных расчетов

ВВЕДЕНИЕ

В 21 веке, когда идет бурное развитие как науки, так и техники, уже сложно, а порой и нереально представить проектирование изделий и конструкций без САПР. Трудности в разработке промышленных изделий поставили инженеров перед необходимостью сочетания эффективных методов изучения особенностей поведения изделий с сочетанием реального прототипа. Необходимость внедрения в производство сложнейшей техники в короткие сроки приводит к созданию систем автоматизированного проектирования. Важную роль в этих системах играет расчет на прочность.

В основе любого расчета на прочность лежит расчетная схема, включающая в себя геометрию конструкции и действующие на нее нагрузки (механические и температурные). Естественно, что при создании расчетной схемы сложной конструкции прибегают к некоторой идеализации ее формы, при этом степень этой идеализации влияет на достоверность результатов расчета.

Задачи со сложной геометрией обычно решаются численными методами, к которым относится, в частности, и метод конечных элементов.

Когда инженер или ученый строит количественную математическую модель системы практически любого рода, он обычно начинает с установления поведения бесконечно малого (дифференциального) ее элемента на основании предполагаемых соотношений между главными переменными, характеризующими систему. Это приводит к описанию системы при помощи дифференциальных уравнений. Как только построена основная модель и выяснены свойства конкретного дифференциального уравнения, дальнейшие усилия направляются на получение решения уравнений в конкретной области, которая часто имеет очень сложную форму и состоит из различных сред, имеющих сложные свойства. На границах области задаются различные условия; они могут быть постоянными или меняться со временем и т.д. Поэтому не удивительно, что решение таких дифференциальных уравнений было основным делом аналитиков в течение более двух столетий.

Наличие нерегулярных границ в большинстве практических задач не позволяет построить аналитическое решение дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственным возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов.

Целью данного курсового проекта является определение размеров деталей резьбового соединения с трубной цилиндрической резьбой, воспринимающего осевую сжимающую нагрузку. В курсовом проекте реализованы:

– основные подходы к математическому моделированию физических

систем;

– программная реализация задачи;

– верификация и проведение вычислительного эксперимента.

1 ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ В МЕХАНИКЕ

1.1 Численные методы решения задачи

При выполнении инженерных расчетов, на практике используют аналитические и численные методы. Аналитические методы требуют высокой математической подготовки инженера. Также аналитические расчеты позволяют решать задачи для тел, имеющих простую геометрическую форму.

Наиболее известные методы: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов [1, c. 49]. Метод конечных разностей – метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений называют также методом сеток. Идея конечных разностей известна давно, благодаря трудам Эйлера.

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что:

• на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs (рисунок 1.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s (s – шаг сетки) и являющаяся приближением данной области A;    
• заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяют в узлах сетки Аs конечно-разностным уравнением;
• с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs.

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs, т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А.