Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

Задача 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Производится три выстрела. Построить ряд распределений и функцию распределения случайной величины X - числа непопаданий в цель. Найти M(X)

Ответ: M(X)=1.8

Решение. Случайная величина X может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Определим соответствующие вероятности:

P{X=0}=C_3^0 (1-0.4)^0*〖0.4〗^3=0.064

P{X=1}=C_3^1 (1-0.4)^1*〖0.4〗^2=0.288

P{X=2}=C_3^2 (1-0.4)^2*〖0.4〗^1=0.432

P{X=3}=C_3^3 (1-0.4)^3*〖0.4〗^0=0.216

Условие нормировки выполняется:

P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.064+0.288+0.432+0.216=1

Ряд распределения выглядит следующим образом:

X 0 1 2 3

P 0,064 0,288 0,432 0,216

Функция распределения имеет вид:

x (-∞;0] (0;1] (1;2] (2;3] (3;+∞)

F(x) 0 0,064 0,352 0,784 1

Заданная случайная величина является дискретной. Математическое ожидание дискретной величины определяется как сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются. Тогда

M(X)=0*0,064+1*0,288+2*0,432+3*0,216=1,8

Ответ: M(X)=1,8

Задача 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n

а) Используя критерий Пирсона при уровне значимости α = 0,01, проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением;

б) если гипотеза согласуется, то найти доверительный интервал (α,β)с надежностью

γ = 0,99 неизвестного математического ожидания а по исправленной выборочной дисперсии S2 и выборочной средней хв;

в) построить полигон частот и гистограмму частот.

хi 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32 32-36

ni 6 12 19 28 37 41 39 31 13 n=226

Ответ:(12, 03, 28, 86 )

Решение. Выполним расчетную таблицу:

[a;b] x_i n_i x_i*n_i x_i^2*n_i

0-4 2 6 12 24

4-8 6 12 72 432

8-12 10 19 190 1900

12-16 14 28 392 5488

16-20 18 37 666 11988

20-24 22 41 902 19844

24-28 26 39 1014 26364

28-32 30 31 930 27900

32-36 34 13 442 15028

Сумма 226 4620 108968

Среднее 20,44247788 482,159292

Выборочное среднее равно

x ̅=1/n ∑_(i=1)^226▒〖n_i x_i 〗=1/226=4620/226=20,442

¯(x^2 )=1/n ∑_(i=1)^226▒〖n_i x_i^2 〗=1/226 (6*2^2+12*6^2+⋯+13*〖34〗^2 )=108968/226=482,159

и получим выборочные дисперсии:

D^*=(σ^* )^2=¯(x^2 )-x ̅^2=482,159-〖20,442〗^2=64,283636

s^2=n/(n-1)