Элементы интегрального исчисления

1 Элементы интегрального исчисления

1.1 Первообразная функция и неопределенный интеграл

Одна из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной данной функции.

Однако, различные вопросы математического анализа, а также его приложения в механике, геометрии, физике, в сугубо прикладных, технических задачах, приводят к необходимости решения обратной задачи. Эти вопросы приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции (по данной функции [pic 1] найти такую функцию [pic 2], производная которой [pic 3] была бы равна функции[pic 4], т.е. имело место равенство [pic 5]). Можно сказать, что восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Интегральное исчисление, которое изначально возникло из-за потребности нахождения площадей, объемов и центров тяжести, в настоящее время играет важную роль в современной математике, физике и их приложениях.

Курсовая работа написана с учетом того, что читателю уже известны понятие «непрерывная функция» и «производная функции».

Определение. Отыскание функции [pic 6] по известному ее дифференциалу [pic 7] (или по ее производной [pic 8]), т.е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция [pic 9] называется первообразной функцией от функции [pic 10].[1]

Пример 1. Функция [pic 11] является первообразной для функции [pic 12] на интервале [pic 13], ибо в любой точке х этого интервала [pic 14].

Пример 2. Функция [pic 15] является первообразной для функции [pic 16] на открытой полупрямой [pic 17], ибо в каждой точке х этой полупрямой [pic 18].

Если [pic 19] является первообразной для функции [pic 20] на интервале [pic 21], то, очевидно, и функция [pic 22], где [pic 23] – произвольная постоянная, есть также первообразная от функции [pic 24], на интервале [pic 25], ибо [pic 26].

Теорема 1. Пусть [pic 27] и [pic 28] - две первообразные для функции [pic 29] на множестве [pic 30]. Тогда для всех [pic 31] справедливо равенство

[pic 32]                                                    (1)

Определение. Общее выражение [pic 33] совокупности всех первообразных от функции [pic 34] называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается [pic 35]:

[pic 36] если [pic 37]                           (2)

Пример 3. [pic 38] на всей бесконечной прямой [pic 39], потому что функция [pic 40] является одной из первообразных для функции [pic 41] на бесконечной прямой.

Основные свойства неопределенных интегралов

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

[pic 42],   [pic 43].

1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

[pic 44]

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

[pic 45].

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

[pic 46].

1.2 Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов заключается в непосредственном использовании таблицы интегралов:

1) [pic 47]

2) [pic 48]

3) [pic 49]

4) [pic 50]

5) [pic 51]

6) [pic 52]

7) [pic 53] 

8) [pic 54]

9) [pic 55]

10) [pic 56]

Пример 4. Найти интегралы:

1) [pic 57] Решение. По формуле (1) [pic 58]

2) [pic 59]. Решение. Согласно свойству III и по формуле (1)

[pic 60]

3) [pic 61] Решение. Согласно свойству III и по формуле (8)