Тройной интеграл. Основные понятия, геометрический и физический смысл

Лекция 9

Тройной интеграл. Основные понятия, геометрический и физический смысл. Основные свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла

цель лекции: сформировать представление о тройных интегралах, раскрыть сущность тройного интеграла, объяснить методы вычисления тройного интеграла.

ключевые слова (термины): функция, первообразная, дифференциал, производная, интеграл, интегрирование, двойной интеграл.

основные вопросы (положения) и краткое содержание:

1.Тройной интеграл.

               Пусть в пространстве задана область V, ограниченная замкнутой поверхностью S  и  пусть функцияопределена  и непрерывна в этой области. Разбив эту область на элементарные области  и выбрав  в каждой  из них произвольную точку  составим интегральную сумму [pic 1][pic 2][pic 3]

         (1)[pic 4]

Предел суммы  (1)  при     называется тройным интегралом[pic 5]

         [pic 6]

  или  

[pic 7]

Теорема (существования). Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то преде6л интегральной суммы (1) при и  существует и не зависит ни от способа разбиения области V н части, ни от выбора точек в этих частях.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла:

1. [pic 12]
2. [pic 13]
3. , если , а пересечение  состоит из границы, их разделяющей.[pic 14][pic 15][pic 16]
4. , если в области V функция .[pic 17][pic 18]

Если в области интегрирования , то и[pic 19]

[pic 20]

1. , так как в случае  любая интегральная сумма имеет вид  и численно равна объему тела.[pic 21][pic 22][pic 23]
2. , где  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функциив области V.[pic 24][pic 25][pic 26]
3. Теорема о среднем значении: если функциянепрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела.[pic 27][pic 28][pic 29]

2.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть область V  - тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху поверхностью , причем функции   – непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy.[pic 30][pic 31][pic 32]

Область V называется правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Если область  D  ограничена линиями   и    , причем    при , то для вычисления тройного интеграла применима формула [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

(2)[pic 37]

Замечание. Если область V не является правильной, то ее нужно разбить на конечное число правильных областей, к  каждой из которых может быть применима формула (2).

Пример. Вычислить , где область V ограничена плоскостями .[pic 38][pic 39]

Решение. Построим заданную область:

[pic 40]

Область V является правильной, поэтому применим формулу (2):

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Контрольные вопросы

1. Дать определение тройного интеграла.
2. В чем заключается условие существования тройного интеграла?
3. Сформулируйте свойства тройного интеграла.
4. Как вычисляется тройной интеграл в прямоугольных координатах?

критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения:

Даны в силлабусе.

рекомендуемая литература:

Дана в силлабусе.

Лекция 10

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Приложения тройного интеграла

цель лекции: раскрыть сущность  метода подстановки для вычисления тройного интеграла, объяснить вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

ключевые слова (термины):тройной интеграл,цилиндрические координаты, сферические координаты, метод подстановки

основные вопросы (положения) и краткое содержание: