Трансцендентные числа: предыстория, развитие теории в XIX веке первой половине XX века

Трансцендентные числа: предыстория, развитие теории в XIX веке первой половине XX века

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Развиваясь в дальнейшем, математика перешла к более сложным вопросам, одним из которых стал вопрос теории чисел об алгебраических и трансцендентных числах.

Эта теория более молодая и не так развита, как другие теории математики.

Прослеживаю историю появления знаний человечества о числах прослеживается интересный факт - на протяжении многовековой истории человечество использовало на практике и тщательно изучало совсем не значительную долю всего множества существующих в природе чисел. Человечество долгое время не подозревало о существовании, как выяснилось впоследствии, большинства действительных чисел, наделенных интересными и загадочными свойствами и называемых сейчас трансцендентными.

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами.

Свойства трансцендентных чисел:

•Множество трансцендентных чисел континуально.

•Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

•Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.

•Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Существуют ли трансцендентные числа, не являются ли вообще все числа алгебраическими. Этот важный вопрос, не смотря на его внешнюю простоту, совсем не прост, и решение его было получено немногим более сто лет назад.

Французский математик Лиувилль (1809-1882гг) построил некоторые числа, относительно которых ему удалось доказать их трансцендентность. Первые факты о трансцендентных числах ученым теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Если алгебраическое число а удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа должно выполняться неравенство (с зависит только от a).

Вследстви чего, если для заданного иррационального числа a можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений), то a есть трансцендентное число. Пример такого числа даёт:

Теорема Лиувилля (модифицированная)

Если α – алгебраическое число степени n, то существует такое число с0>0, что для любых , для которых имеем

Доказательство. Пусть . ( ), тогда число обладает нужным свойством. В самом деле, если , то . Следовательно,

Выбрав в качестве c0 наименьшее из чисел c и c’, получим искомое неравенство.

На основе теоремы Лиувилля можно строить трансцендентные числа. Рассмотрим пример.

a – трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные числа n1 и c>0. Пусть , где k является настолько большим, что и kn, сдедует

Поскольку для любых n1 и c>0 можно найти дробь такую, что , то  – трансцендентное число.

Позднее, в 1850-х годах, Лиувилль сформулировал нужное условие для того, чтобы число было алгебраическим; следовательно,