Понятие случайной функции (процесса)

Понятие случайной функции (процесса)

При изучении ряда явлений часто приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися в процессе наблюдения (опыта, испытания) с течением времени.

Примерами таких случайных величин могут служить: сигнал на выходе радиоприемника под воздействием помех, загруженность студентов в семестре, длина очереди за билетом в «Ленком», колебания напряжения в сети, рейтинг политической партии, траектория частиц в броуновском движении и т.д.

Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, называют случайными функциями.

Раздел математики, изучающий: случайные явления в динамике их развития, называется теорией случайных функций (случайных процессов). Ее методы используются, в частности, в теории автоматического управления, при анализе и планировании финансовой деятельности предприятий (и отдельной семьи), при обработке и передаче сигналов радиотехнических устройств, в экономике. в теории массового обслуживания.

Рассмотрим основные понятия. теории случайных процессов (с. п)

Если каждому значению [pic 1], где Т — некоторое множество действительных чисел, поставлена в соответствие с. в. Х(t), то говорят, что на множестве T задана случайная функция (с. ф.) Х(t)). Другими словами, случайной функцией Х(t) называют с. в. зависящую от неслучайного аргумента 1.

Если параметр t интерпретируется как время, то с. ф. называется случайным процессом. Другими словами, случайным процессом называется семейство случайных величин Х(t,w), заданных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω, зависящих от параметра [pic 2]. Обозначается через Х(t,w) или Х(t), Хt.

Случайный процесс можно задать формулой, если вид случайной функции известен, а случайные величины, определяющие параметры с. ф., можно задать аналитически.

Так, с. ф. [pic 3][pic 4], имеющая равномерное распределение, является случайным процессом.

При фиксированном значении t, т.е. [pic 5], случайный процесс Х(t,w) обращается в с.в. Х(t0,w), называемую сечением случайного процесса.

Реализацией или траекторией случайного процесса. Х(t,w) называется неслучайная функция времени x(t) = Х(t,w0) при фиксированном w = w0, т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате испытания.

Реализации с.в. обозначают через x1(t), x2(t), …, где индекс указывает номер опыта.

На рисунке показаны три реализации x1(t), x2(t), x3(t) случайного процесса при w = w1, w = w2, w = w3.

[pic 6]

[pic 7]

В заключение параграфа отметим, что функция F(tx) = Р{Х(t) < x} — так называемый одномерный закон распределения случайного процесса Х(t) — не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса.

Случайный процесс Х (t) представляет собой совокупность всех сечений при различных значениях [pic 8], поэтому для его полного описания надо рассматривать совместную функцию распределения сечений процесса:

[pic 9]

- конечный закон распределения с.п. в моменты t1, t2, …, tn.

Классификация случайных процессов

Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S, представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в другое. В зависимости от множества этих состояний W, от множества Т значений аргумента t все случайные процессы делят на классы:

1. Дискретный процесс (дискретное состояние) с дискретным временем.

2. Дискретный процесс с непрерывным временем.

3. Непрерывный процесс (непрерывное состояние).

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем.

В 1 и 3 случаях множество T дискретно.