Полиномы Чебышева

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Забайкальский государственный университет»

(ФГБОУ ВО «ЗабГУ»)

Факультет естественных наук, математики и технологий

Кафедра математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По численным методам

На тему «Полиномы Чебышева»

Выполнил:

студент гр. ПМИ-17        Константинова Лидия Григорьевна        

Руководитель курсовой работы:

должность доцент кафедры

математики и информатики        Холмогорова Елена Ивановна        

Чита

2020

Оглавление

Введение        3

Определение        4

Рекуррентная форма записи        4

Тригонометрическая форма записи        6

Явная форма записи        6

Основные свойства полиномов Чебышева        7

Наименьшее отклонение от нуля        9

Ортогональность с весом        9

Свойство ортогональности полиномов Чебышева        11

Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек        13

Связь полиномов Чебышева первого рода с теоремой о чебышевском альтернансе.        15

Задача Чебышева        16

Заключение        20

Список литературы        21

Введение

Всем давно известно, что изучение многочленов обогатило математику, позволило расширить понятие числа и доказать основную теорему алгебры.

С изучением многочленов связан целый ряд изменений  в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Так же в численном анализе при решении задач различного вида часто приходится вычислять значения тригонометрических, показательных, логарифмических и других элементарных функций. Для этого можно использовать разложение тех, самых элементарных функции в степенные ряды.

Но в процессе вычисления значения функции  данным способом станет понятно, что погрешности могут быть распределены неравномерно по рассматриваемому интервалу изменения аргумента.

Исходя из этого, основная часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, потому как с ними легче работать.

Одним из способов совершенствования алгоритма вычислений, позволяющих более равномерно распределить погрешность по всему интервалу, является использование многочленов Чебышева^[1].

В данной курсовой работе будут разобраны определения и свойства полиномов Чебышева, а так же их применение  в численном анализе.

Следует отметить, что именно Чебышев П.Л. получил фундаментальные результаты в теории чисел, вывел центральную предельную теорему и закон больших чисел в теории вероятностей, построил общую теорию ортогональных многочленов, теорию равномерных приближений и многие другие.

Определение

Полиномы Чебышева  представляют собой последовательность ортогональных многочленов.

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов  где каждый многочлен   имеет степень , а также любые два многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]