Квадрат теңдеу

Кіріспе

Бұл жоба алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. 

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Жобаның мақсаты:

• Мақсаты. Квадрат теңдеулер және оларды шешу жолдарына теориялық шолу жасай келе, оның практикалық қолданыстары қарастыру, оны шығару барысында оқушылардың жиі жіберетін қателерін айқындап, оларға талдау жасау, ондай олқылықтарды болдырмау жолдарын айқындау. Сыныптан тыс жұмыстарда квадрат теңдеулердің қолданылуы жайында айтып, оларды шығара білуге оқушылардың қызығушылықтарын арттыру.

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕР.

Квадрат теңдеу және оның түбірлері.

Квадрат теңдеудің анықтамасы.

   Іс жүзінде кездесетін көптеген есептерді шешу, мысалы,  x2-3x+2=0, 3x2-x-4=0, 3x2+7x+4=0 cияқты теңдеулердің түбірлерін анықтауға келіп тіреледі. Бұл теңдеулердің әрқайсының сол жақ бөліктері  х-ке тәуелді 2-ші дәрежелі көпмүшелер, ал оң жақ бөліктері нөлге тең. Мұндай теңдеулерді квадрат теңдеулер деп атайды.

  Анықтама. ах2+bx+c=0 (а0) түріндегі теңдеуді квадрат теңдеу деп атайды. Мұнда а,b және с – берілген сандар,ал х- айнымалы.                                                                        [pic 1]

  Мұнда а- квадрат теңдеудің бірінші коэффициенті, b- екінші коэффициенті,ал с-бос мүше деп аталады.Квадрат теңдеулерде а0 болуы қажет.Себебі, егер а=0 болса,  онда бұл теңдеу bх+с=0 түрінде жазылып, ол сызықтық теңдеуге (квадрат теңдеу емес) айналар еді. Мысалы, 5х2-х-4=0 –квадрат теңдеу, мұнда а=5, b=-1,  c=-4.[pic 2]

  Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігін , яғни ах2+bх+с көпмүшесін квадрат үш мүше деп атайды.

  Егер х=u саны квадрат теңдеудің сол жақ бөлігін нөлге айналдырса , яғни au2+bu+c=0теңбе –теңдігі орындалса, онда u саны квадрат теңдеудің түбірідеп аталады. Мысалы, х=2саны 2x2+3x-14=0 теңдеуінің түбірі болады, себебі 2. 22 +3.2-14=8+6-14=14-14=0. Ал х=5саны үшін 2.52+3.5-14=50+15-14=51=0 теңсіздігі орындалғандықтан, х=5 саны 2х2+3х-14=0 квадрат теңдеуінің түбірі бола алмайды.

    Квадрат теңдеулерді қарастырғанда a0деп алуға болады. Мысалы, -3х2+5х-6=0 теңдеуін (-1)-ге көбейту арқылы оған мәндес 3х2-5х+6=0 квадрат теңдеуін аламыз. Яғни бұл квадрат тедеулердің шешімдері бірдей. Ал квадрат үшмүшілері ретінде    -3х2+5х-6 және 3х2-5х+6 көп мүшелері әр түрлі және оларды теңбе-тең өрнектер деп қарастыруға болмайды.[pic 3]

    Егер а=1болса, онда квадрат теңдеуді келтірілген квадрат теңдеу деп атайды. Мысалы, х2-5х+6=0, x2+5x-1=0 –келтірілген квадрат теңдеулер.

    Сонымен, 1) ах2+bx+c=0 (a=0)- квадрат теңдеудің жалпы түрі;