Квадратнi рiвняння з параметром
Автор: Oleksandra Dzhoholyk • Январь 24, 2022 • Реферат • 4,968 Слов (20 Страниц) • 247 Просмотры
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРОМ
Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена , приходимо до рівності:[pic 1]
[pic 2]
Вираз D= b2 - 4ас називають дискримінантом.
Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів (D<0). Корені квадратного рівняння х1 і х2 дорівнюють:
[pic 3];
[pic 4].
Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тож зауважимо, що вирази «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж.
Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння - парне число, тобто b = 2k,
то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою: [pic 5], де [pic 6], [pic 7].
До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х1 і х2 рівняння ах2 + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:
[pic 8] [pic 9]
.
Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням.
Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х2 дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків.
Рівняння з вимогою
«розв’язати для всіх значень параметра»
Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.
[pic 10]
Приклад 1. Розв’язати рівняння ax2 – 2x + 4 = 0.
Розв’язання
Якщо a = 0, то x = 2.
Якщо а ≠ 0, то рівняння є квадратним.
D = 4 – 16a.
Якщо D < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має.
Якщо D = 0, тобто a = 0,25, то x = 4.
Якщо D > 0, тобто a < 0,25 , то рівняння має два кореня
x1,2 = .[pic 11]
Приклад 2. Розв’язати рівняння x2 − 2x + a = 0.[pic 12]
Розв’язання
Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта:
D =1− a .
Якщо а > 1, то D < 0, то коренів немає.
Якщо а = 1, то D = 0, то отримаємо один корінь х = 1.
Якщо а < 1, то D > 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня x1,2 =1± 1− a .
Відповідь. Якщо а > 1, то розв’язків немає;
Якщо а = 1, то х = 1; якщо а < 1, то x1,2 =1± 1− a .
...