Картан түріндегі контактілі Ли алгебрасынын гомологиясы

Картан түріндегі контактілі Ли алгебрасынын гомологиясы.

Ли алгебра теориясы , Ли алгебраларын зерттейтін алгебраның бөлімі. Lie алгебрасы - бұл K  өрісінің көбейтіндісімен алгебрасы (Ли алгебрасының а және b элементтері үшін, олардың көбейтіндісі [a, b] арқылы белгіленеді), келесі қасиеттерге ие: кез келген x, y, z.

[x,x]=0;[x,x]=0;

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

Якоби сәйкестігі

Осы қасиеттердің біріншісі [x, y] = - [y, x] (теңдікке қарсы) теңдікті білдіреді. Ли алгебрасы барлық x және y элементтері үшін [x, y] = 0 теңдігін қанағаттандырса, коммутативті (немесе абельдік) деп аталады. Өтірік алгебралар әдетте ассоциативті емес.

 Ли алгебраларының мысалдары мен құрылымдары.

1. Кез-келген А ассоциативті алгебрасы (көбейту арқылы әдеттегідей белгіленеді), егер оған жаңа [x, y] = xy-yx (коммутация) көбейтіндісін енгізсек, L алгебрасына айналады. Туралы Т. n ретті барлық матрицаларының Ли алгебрасы салынады, көбейту кезінде матрицалардың коммутациясы болады немесе V векторлық кеңістіктің сызықтық түрлендірулерінің Ли алгебрасы (V).

Вектор кеңістігі.

 ВЕКТОРЛЫҚ КЕҢІСТІК (сызықтық кеңістік), (еркін) векторлар жиынтығы тұжырымдамасын қорыта отырып, алгебраның негізгі ұғымдарының бірі. V. б., Векторлардың орнына кез-келген объектілерді қосуға және көбейтуге болады деп санайды; алгебралық негіздер қажет. бұл операциялардың қасиеттері қарапайым геометриядағы векторлармен бірдей болды. Дәл анықтамада сандарды кез-келген K өрісінің элементтері ауыстырады, K өрісінің үстіндегі кеңістікті V-ден элементтерді қосу операциясынан және V-ден элементтерді K өрісінен көбейту операциясынан тұратын V жиынтығы деп атайды. келесі қасиеттерге ие:

x + y = y + x кез келген x, y үшін V, яғни қосылуға қатысты V - абелия тобы;

λ (x + y) = λx + λy кез келген λ үшін K және x, y V;

(λ + μ) x = λx + μx кез келген λ үшін, K-ден μ және V-ден x;

(λμ) x = λ (μx) кез келген λ үшін, μ K мен x-тен V;

V-ден кез-келген х үшін 1х = х, мұндағы 1 К бірлігін білдіреді.

Мысалдар: барлық векторлардың L1, L2 және L3 жиынтықтарын, сәйкесінше, түзу, жазықтықта және кеңістікте векторларды қосу мен санға көбейтудің әдеттегі амалдарымен; координатасы V.sub.kn, оның элементтері барлық ұзындықты n жолдар (векторлар) n өрістегі элементтермен K және амалдар формулалармен берілген.

(a1,…, an) + (b1,…, bn) = (a1 + b1,…, an + bn),

λ (a1,…, an) = (λa1,…, λan);

Барлық функциялардың F (M, K) жиынтығы белгіленген M жиынтығында анықталған және функцияларға әдеттегі операциялармен K өрісіндегі мәндерді қабылдайтын:

(f + g) (x) = f (x) + g (x), (-f) (x) = -f (x).

  е1,…, en элементтері сызықтық тәуелсіз деп аталады, егер λ1e1 +… + λnen = 0∈V теңдігі барлық λ1, λ2,…, λn = 0∈K дегенді білдірсе. Әйтпесе, e1, e2,…, en элементтері сызықтық тәуелді деп аталады. Егер V-дегі кез-келген n + 1 элементтері e1, ..., en + 1 болса.V.Сызықтық тәуелді және n сызықтық тәуелсіз элементтер болса, онда V n-өлшемді V. p., Ал n - V. p. V. өлшемі. Егер V. p. V кез келген табиғи n үшін сызықтық тәуелсіз векторлар болса, онда V шексіз өлшемді V. б деп аталады. Мысалы, V. p. L1, L2 , L3 және Kn сәйкесінше 1−, 2−, 3− және n- өлшенген; егер M шексіз жиын болса, онда V. p.F (M, K) шексіз өлшемді болады.

  Өріс бойынша V және U тармақтары изоморфты деп аталады, егер map: V → U бір-бірімен салыстыру болса, кез келген х үшін φ (x + y) = φ (x) + φ (y), y-ден V және φ (λx) = λφ (x) үшін кез-келген for үшін K және x-тен V. изоморфты V. б. алгебралық тұрғыдан ажыратылмайды. Шекті өлшемді ақырлы кеңістікті изоморфизмге дейін жіктеу олардың өлшемдерімен берілген: кез-келген n өлшемді кеңістік кеңістігі К өрісі бойынша координаталық кеңістік кеңістігіне изоморфты. Гильберт кеңістігін, Сызықтық алгебраны қараңыз.

 Кез-келген аналитикалық (сәйкесінше, тегіс) коллектордағы аналитикалық (сәйкесінше, тегіс) векторлық өрістердің алгебралары (Векторлық есептеуді қараңыз).

1. Кез-келген аналитикалық (сәйкесінше, тегіс) коллектордағы аналитикалық (сәйкесінше, тегіс) векторлық өрістердің LI алгебралары (Векторлық есептеулерді қараңыз).

  Векторларды есептеу, Евклид кеңістігінің векторлары және олардағы амалдар зерттелетін математиканың бөлімі.

  Пайда болуы механика мен физиканың қажеттіліктерімен байланысты. Негізін В.Гамильтон мен Г.Грасманның (1844-1850) қалаған. Олардың идеяларын Дж.К.Максвелл электр және магнетизм туралы жұмыстарында қолданған. Заманауи V. көзқарасы және. Дж. Гиббс берді. V. дамуына елеулі үлес және. М.В.Остроградскийдің қосқан үлесі.