Золотое сечение и числа Фибоначчи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова»

Факультет экономики и информационных технологий

Кафедра информационных технологий и программной инженерии

РЕФЕРАТ  

Тема: «Золотое сечение и числа Фибоначчи.» 

Выполнил:

студент 2 курса

направления подготовки

09.03.03 Прикладная информатика

шифр ПИб-2176-2023

Штейнле Матвей Александрович

Проверил:

Стар кафедрой ИСиТ

Платонова Нина Николаевна

Пермь 2024

Оглавление

Введение        3

1. Числа Фибоначчи        4

1.1. Определение        4

1.2. История и свойства        5

1.3. Золотая спираль Фибоначчи        6

1.4. История про кроликов в Австралии        8

2. Золотое сечение        9

2.1. Определение золотого сечения        9

2.2. История и свойства        9

3. Примеры решения задач        11

Заключение        13

Список литературы        14

Введение

Золотое сечение и числа Фибоначчи – две взаимосвязанные математические концепции, которые на протяжении веков привлекали внимание ученых, художников и архитекторов. Иррациональное число φ (фи), приблизительно равное 1,618, и последовательность Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих, проявляются в природе, искусстве и архитектуре, создавая ощущение гармонии и красоты. Данный реферат посвящен исследованию истории, математических основ и практического применения этих удивительных математических явлений.  

1. Числа Фибоначчи

1.1. Определение

Числам Фибоначчи - это последовательность чисел, где каждое следующее число является суммой двух предыдущих, начиная с 0 и 1. Последовательность выглядит следующим образом:

F(0) = 0

F(1) = 1

F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5

F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8

F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13

F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21

F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34

Из этого можно сделать вывод, что числа Фибоначчи определяются рекурсивно следующим образом:

•  F₀ = 0

•  F₁ = 1

•  Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂  для  n ≥ 2

Первые числа Фибоначчи:

•  F₀ = 0

•  F₁ = 1

•  F₂ = 1

•  F₃ = 2

•  F₄ = 3

•  F₅ = 5

•  F₆ = 8

1.2. История и свойства:

Последовательность чисел Фибоначчи была описана Леонардо Пизанским (известным как Фибоначчи) в его труде "Liber Abaci" (1202 год). Хотя Фибоначчи не открыл эту последовательность (примеров её использования встречались и ранее), он популяризировал её, представив задачу о размножении кроликов. В этой задаче каждое поколение кроликов порождает новое поколение, и общее количество кроликов описывается последовательностью: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее, где каждое последующее число является суммой двух предыдущих.

Данная последовательность обладает свойствами:

• Связь с золотым сечением:

При делении соседних чисел Фибоначчи, по мере увеличения индекса n, отношение этих чисел стремится к золотому сечению: Fₙ/(Fₙ₋₁), (φ ≈ 1,618). Чем больше число в последовательности, тем точнее это приближение.

Например:

F₅/F₄ = 5/3 ≈ 1.6667

F₆/F₅ = 8/5 = 1.6

F₇/F₆ = 13/8 = 1.625

F₈/F₇ = 21/13 ≈ 1.6154

F₉/F₈ = 34/21 ≈ 1.6190

• Свойства делимости:

В последовательности Фибоначчи встречаются интересные закономерности делимости чисел. Например, каждое третье число делится на 2, каждое пятое – на 5, и так далее.