Жазық фигураның ауданы, ауданның бар болу шарты

1. Жазық фигураның ауданы, ауданның бар болу шарты.

Жазық фигура деп жазықтықтағы шектелген нүктелер жиынын айтады. Айталық, F жазық фигура болсын. Осы жазық фигураға іштей және сыртай көпбұрыштар сызып, олардың жиынын сәйкес {P} және {Q} белгілейміз, сонда P ⊂ F ⊂ Q .

 Іштей сызылған көпбұрыштар аудандары жоғарғы жағынан шектелген, ал сырттай сызылған көпбұрыштардың аудандары төменгі жағынан шектелген.

Сондықтан іштей сызылған көпбұрыштар аудандарының дәл жоғарғы шекарасы бар .

[pic 1]

ал сырттай сызылған көпбұрыштар аудандарының дәл төменгі шекарасы бар

[pic 2]

 шамасын F фигурасының ішкі,  шамасын сыртқы ауданы деп атайды.[pic 3][pic 4]

Енді фигуралардың аудандарының бар болу шартын қарастырайық.

1 - т е о р е м а . F фигурасы квадратталуы үшін кез келген ε оң санына сәйкес P ⊂ F және F ⊂ Q көпбұрыштар табылып, олардың аудандары

[pic 5]

теңсіздігін қанағаттандыруы қажетті және жеткілікті.

2 - т е о р е м а . Жазық F фигурасының ауданы бар болуы үшін, оның шекарасының ауданы нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Л е м м а . Кез келген түзуленетін қисықтың ауданы нөлге тең.

2-теорема мен леммадан мынадай қорытынды шығады. Шекарасы бір немесе бірнеше түзуленетін қисықтан құралған кез келген жазық фигура квадратталады.

2. Қос интегралдың анықтамасын келтіріңіз. Көлем туралы есепті жазыңыз.

Егер d → 0 ұмтылғанда (3) өрнектің тиянақты шегі бар болса, оны f x y),( функциясының D облысы бойынша алынған қос интегралы немесе еселі интегралы деп атайды, оны

S[pic 6]

белгілейді. Бұл жағдайда f x y),( функциясы D облысында интегралданады дейді, D интегралдау облысы, ал x пен y интегралдау айнымалылары, ds = dxdy аудан элементі деп атайды.

Айталық жоғарғы жағынан z = f(x,y) бетімен, мұндағы f( x, y),үзіліссіз функция, бүйір жағынан жасаушысы OZ өсіне парлаллель цилиндрлік бетпен, төменгі жағынан XOY жазықтығында жатқан ауданы D жазық облыспен шектелген T денесінің көлемін табу керек. D облысын өзара қиылыспайтын қисықтармен

 [pic 7]

 бөліктерге бөліп, олардың аудандарын сәйкес

белгілейміз.[pic 8]

Әрбір  бөлігінен қалауымызша (ξ,η) , нүктесін таңдап алып биіктігі , табаны ∆Si болатын тікше цилиндрлік бағаналарды қарастырамыз. Егер элементар Di бөлігін жуықтап дөңгелек деп жорысақ, онда дөңгелек цилиндрдің көлемі тең болады. Онда цилиндрлер көлемдерінің қосындысы [pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

T денесінің көлемін жуықтайды. Di облысындағы кез келген екі нүктенің арақашықтығын d мен белгілейміз

 d = maxdiamDi

 Берілген дененің көлемі

[pic 13]

3. Қос интегралдың анықтамасын келтіріңіз. Масса туралы есепті жазыңыз.

Егер d → 0 ұмтылғанда (3) өрнектің тиянақты шегі бар болса, оны f x y),( функциясының D облысы бойынша алынған қос интегралы немесе еселі интегралы деп атайды, оны

[pic 14]

белгілейді. Бұл жағдайда f x y),( функциясы D облысында интегралданады дейді, D интегралдау облысы, ал x пен y интегралдау айнымалылары, ds = dxdy аудан элементі деп атайды.

Массамен толтырылған кейбір (V) денесі берілсін және оның әрбір M(x,y,z) нүктесінде массаның орналасу тығыздығы белгілі болсын

[pic 15]

Дененің барлық m массасын анықтау керек.

Бұл есепті шешу үшін (V) денесін бірқатар (V1), (V2), …, (Vn) бөліктерге жіктейміз және әрбір бөліктің шегінен бір  нүктеден аламыз. (Vi) бөліктің шегінде жуық түрде оның тығыздығың тұрақты деп есептеп, алынған нүктедегі  тығыздыққа тең деп аламыз. Сонда осы бөліктің mi массасы жуық түрде былай өрнектеледі [pic 16][pic 17]

[pic 18]

Тұтас дененің массасы

[pic 19]

 болады.

Егер барлық бөліктердің диаметрлері нольге ұмтылатын болса, онда бұл жуық теңдік өзінің шегінде дәл болып шығады, сондықтан

[pic 20]

болады және сонымен есеп шешіледі.

4. Қос интегралдың бар болуы туралы теореманы келтіріңіз. Қос интегралдың қасиеттерін жазыңыз.

F(x,y),функциясы D облысында интегралданады дейді, D интегралдау облысы, ал x пен y интегралдау айнымалылары, ds = dxdy аудан элементі деп атайды. Жоғарыдағы қарастырған есептерге орлайық.

 [pic 21]

 Жоғарыда f(x y), функциясын D облысында шектелген деп жорыдық, бір айнымалы функциядағыдай бұл шарт интегралданудың қажетті шарты болады, алайда жеткілікті шарты болмайды. Жеткілікті шартты қарастыру үшін бір айнымалы функциядағыдай Дарбу қосындылар ұғымы енгізіледі.